Image Processing Reference
In-Depth Information
Andererseits haben wir aber nach Bemerkung 6.62 (siehe auch Übungsaufgabe 6.19)
u
∗
)+
Au
∗
)=
F
2
(
(
(
(
)+
−
)
F
1
F
2
inf
u
sup
w
F
1
u
w
,
Au
w
∈
X
∈
Y
∗
A
∗
w
,
u
≥
(
)
−−
−
(
)
sup
w
inf
u
F
1
u
F
2
w
∈
X
∈
Y
∗
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
=
sup
w
∈Y
∗
−
)
−
w
)
.
Zusammen folgt also
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
sup
w
∈Y
∗
−
)
−
w
)
≤
inf
u
∈X
F
1
(
u
)+
F
2
(
Au
)
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)
−
F
2
(
w
∗
)
≤
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
≤−
sup
w
∈Y
∗
−
)
−
w
)
,
damit die gewünschte Identität für das Supremum. Wir sehen sofort, dass es für
w
∗
angenommen wird.
Bemerkung 6.69
Die Forderung nach der Existenz eines Punktes
u
0
u
0
Au
0
)
<
∞
und
F
2
stetig in
Au
0
wurde nur für die Anwendung der Summen- und Kettenregel für
Subdifferentiale gebraucht. Sie kann daher durch die Bedingung
∈
X
mit
F
1
(
)
<
∞
,
F
2
(
∂
(
F
1
+
∂
(
F
2
◦
A
)) =
A
∗
◦ ∂
+
◦
∂
A
ersetzt werden. Siehe Übungsaufgaben 6.11-6.15 für allgemeinere
hinreichende Bedingungen dafür.
F
1
F
2
Wie eben gesehen, kann in dieser Situation der Beweis durch das Rückführen auf
Subgradientenkalkül erbracht werden und damit letztlich erneut auf das geeignete
Trennen von konvexen Mengen. Bei genauerer Betrachtung erkennt man in dem Beweis
auch schon die folgenden Optimalitätsbedingungen für das primale-duale System:
Korollar 6.70
(Fenchel-Rockafellar Optimalitätssystem)
Gilt für F
1
:
X
→
→
R
und F
2
:
Y
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig die Identität
∞
∞
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
Y
∗
−
)
−
)=
(
)+
(
)
max
w
w
min
u
F
1
u
F
2
Au
,
(6.26)
∈
∈
X
u
∗
,
w
∗
)
∈
Y
∗
das primale-duale Problem genau dann, wenn
so löst das Paar
(
X
×
A
∗
w
∗
∈
∂
u
∗
)
,
w
∗
∈
∂
Au
∗
)
−
F
1
(
F
2
(
.
(6.27)
u
∗
,
w
∗
)
∈
Y
∗
genau dann Lösungen sind, wenn
Beweis.
Es ist klar, dass
(
×
X
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)
−
F
2
(
w
∗
)=
u
∗
)+
Au
∗
)
−
(
(
F
1
F
2
.
Dies lässt sich äquivalent ausdrücken durch
A
∗
w
∗
,
u
∗
+
w
∗
,
Au
∗
=
u
∗
)+
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)+
Au
∗
)+
F
2
(
w
∗
)
−
(
(
F
1
F
2
