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Damit haben wir das duale Optimierungsproblem hergeleitet, es lautet:
F 1 (
A w
F 2 (
∈Y
)
)
Duales Problem:
max
w
w
.
(6.25)
Es bleibt zu klären, ob sich Infimum und Supremum vertauschen lassen, und ob das
Supremum tatsächlich angenommen wird. In anderen Worten: Es ist zu zeigen, ob das
Minimum in (6.24) dem Maximum in (6.25) entspricht. Folgender Satz gibt ein hinrei-
chendes dafür Kriterium an.
Satz 6.68 (Fenchel-Rockafellar-Dualität)
Es seien F 1 : X
eigentlich, konvex und unterhalbstetig auf den reellen
Banach-Räumen X und Y. Ferner sei A : X
R
,F 2 : Y
R
Y linear, stetig und das Minimierungsproblem
(
)+
(
)
min
u
F 1
u
F 2
Au
X
besitze eine Lösung u
X. Existiert ein Punkt u 0
u 0
Au 0
X, so dass F 1 (
) < ,F 2 (
) <
und F 2 stetig in Au 0
ist, so gilt:
F 1 (
A w
F 2 (
max
w
∈Y
)
w
)=
min
u
F 1
(
u
)+
F 2
(
Au
)
.
∈X
Insbesondere wird das Maximum angenommen.
Beweis. Da u eine Lösung des Minimierungsproblem ist, haben wir sofort 0
∈ ∂ (
+
F 1
u )
F 2
. Wir wollen nun den Subdifferential-Kalkül aus Satz 6.51 benutzen, stellen
dazu fest, dass nach Voraussetzung F 2
A
)(
A in u 0
stetig ist, also
A
(
F 1
+
F 2
A
)=
F 1
+ (
F 2
A
)=
F 1
+
F 2
A .
Dies bedeutet insbesondere, dass es ein w
Y gibt mit
A w
u )
und w
F 1 (
Au )
A w ∈ ∂
u )
(
(
F 2
. Formulieren wir nun die Subgradientenungleichung für
F 1
um:
u )+
A w , v
u
F 1
(
F 1
(
v
)
v
X
u ) −−
A w , u
A w , v
F 1
(
F 1
(
v
) −−
v
X
A w , u
u )
A w , v
(
∈X
(
)
F 1
sup
v
F 1
v
F 1 (
A w )
=
.
w , Au
Au )
F 2 (
w )
(
Analog bekommen wir
F 2
. Addiert man nun beide Unglei-
chungen, ergibt sich
F 1 (
A w )+
F 2 (
w ) ≤−
A w , u
u )+
w , Au
Au )
F 1
(
F 2
(
u )
Au )
=
(
(
F 1
F 2
und damit
u )+
Au ) ≤−
F 1 (
A w )
F 2 (
w )
(
(
F 1
F 2
.
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