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schreiben. Wir nehmen nun an, wir können Supremum- und Minimumbildung vertau-
schen (im Allgemeinen gilt nur „sup inf
≤
inf sup“, siehe Übungsaufgabe 6.19) und
gelangen zu
u
0
2
X
u
0
2
X
−
X
−
u
u
+(
)=
+(
)
inf
u
sup
w
Y
∗
≤λ
w
,
u
sup
w
Y
∗
≤λ
inf
u
w
,
u
.
2
2
∈
X
∈
Das Funktional auf der rechten Seite formt man leicht um in die Form
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
u
−
)=
u
−
(
−
w
)
+
−
−
w
+(
w
,
u
,
2
2
2
2
u
0
es wird also minimal für
u
=
−
w
. Durch Einsetzen erhalten wir schließlich
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
∈X
u
−
−
−
w
min
u
+
λ
u
Y
=
max
.
(6.21)
2
2
2
w
Y
∗
≤λ
Das Maximierungsproblem auf der rechten Seite ist das zu (6.20) duale Problem. Es ist
offensichtlich äquivalent (in dem Sinne, dass die Lösungen übereinstimmen) mit dem
Projektionsproblem
u
0
2
X
X
−
w
+
{w
Y
∗
≤λ}
(
)
min
w
I
w
.
2
∈
Letzteres hat die eindeutige Lösung
w
∗
=
u
0
, denn im Hilbert-Raum ist die
Projektion auf nichtleere, konvexe und abgeschlossene Teilmengen wohldefiniert (man
bemerke, dass
P
Y
∗
≤λ}
(
)
{
w
wegen der stetigen Einbettung
j
∗
:
X
∗
→
Y
∗
abgeschlossen
{
w
Y
∗
≤
λ
}
ist).
Nun ist für
w
Y
∗
≤
λ
und
u
∈
X
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
−
−
w
∈X
u
−
≤
max
min
u
+(
w
,
u
)
2
2
2
w
Y
∗
≤λ
u
0
2
X
u
0
2
X
−
)
≤
−
u
u
=
+(
+
λ
Y
min
u
max
w
,
u
u
2
2
∈
X
Y
∗
≤
λ
w
und es folgt
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
≤
−
w
−
+
u
−
0
+
λ
u
Y
für alle
u
∈
X
,
w
Y
≤
λ
2
2
2
mit Gleichheit genau dann, wenn man die jeweiligen Lösungen
u
∗
und
w
∗
des prima-
len (6.20) und dualen Problems (6.21) einsetzt. Letztere Ungleichung formen wir um
zu
u
0
2
X
u
0
2
X
u
0
2
X
≤
−
−
+
−
w
u
+(
)
−
(
)+
λ
Y
0
w
,
u
w
,
u
u
2
2
2
u
0
2
X
=
−
−
+
λ
)
.
w
u
Y
−
(
u
w
,
u
2
