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Für den Minimierer
u
∗
des Tichonow-Funktionals
F
muss also gelten:
u
∗
∈
Z
,
J
Z
u
∗
)
∈
X
∗
und
(
p
−
2
q
−
2
A
∗
J
Y
Au
∗
−
u
0
Au
∗
−
u
0
J
Z
u
∗
)
u
∗
(
)
+
λ
(
=
0.
Y
Z
Z
J
Z
u
Man bemerke, dass
u
∗
automatisch im „besseren“ Raum
X
∗
}
{
∈
∈
ent-
halten sein muss. Dies ist lediglich eine Konsequenz aus der Wahl der Strafterms
Ψ
u
und im wesentlichen unabhängig von
Φ
.
Die in den Beispielen 6.37 und 6.38 betrachteten Minimierungsaufgaben lassen sich
nun, wie versprochen, einheitlich behandeln (Übungsaufgabe 6.18). Weiterhin ist es
möglich, allgemeinere Probleme als die in den Beispielen 6.1-6.4 vorgestellten zu studie-
ren, siehe Abschnitt 6.3. Für konvexe Minimierungsaufgaben gibt es neben dem Subdif-
ferential eine weitere wichtige Analysemöglichkeit, die im Folgenden vorgestellt wer-
den soll.
6.2.4 Fenchel-Dualität
Eine wichtige Technik in der Betrachtung konvexer Minimierungsaufgaben ist die so-
genannte
Fenchel-Dualität
. Sie ist eng mit dem zu einem Minimierungsproblem
dualen
Problem
verknüpft. Folgendes Beispiel gibt eine Motivation.
Beispiel 6.56
Es sei
X
ein reeller Hilbert-Raum und
Y
ein reeller, reflexiver Banach-Raum, der dicht
und stetig in
X
eingebettet ist, d.h. die Einbettung
j
:
Y
→
X
ist stetig mit dichtem Bild.
Wir betrachten das strikt konvexe Minimierungsproblem
u
0
2
X
∈X
u
−
min
u
+
λ
u
Y
(6.20)
2
λ >
mit einem
0. Diese Situation könnte beispielsweise ein Entrauschproblem model-
lieren (siehe auch Beispiel 6.1, wo
X
L
2
R
d
=
(
)
, der Strafterm allerdings durch eine
Halbnorm in
H
1
R
d
(
)
zum Quadrat gegeben ist). Um dieses Problem umzuformulieren,
X
∗
und schreiben
Y
X
∗
⊂
Y
∗
. Jedes
u
identifizieren wir
X
=
⊂
X
=
∈
Y
wird also
j
∗
ju
einem
w
Y
∗
zugeordnet, wobei
j
∗
:
X
∗
→
Y
∗
die Adjungierte der
=
∈
mittels
w
X
∗
→
Y
∗
ebenfalls dicht ist,
stetigen Einbettung sei. Es ist leicht zu sehen, dass
X
=
daher gilt
w
)
w
Y
∗
,
λ
u
Y
=
sup
{
w
,
u
∈
w
Y
∗
≤
λ
}
=
sup
{
(
w
,
u
∈
X
,
w
Y
∗
≤
λ
}
und folglich lässt sich (6.20) auch als
u
0
2
X
u
−
min
u
sup
+(
w
,
u
)
2
∈X
Y
∗
≤
λ
w
