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sowie
u
0
2
X
2
u
0
2
X
2
w
,
v
−
u
+
s
(
t
−
τ
)
≥
u
−
+(
τ
−
t
0
)
−
v
−
−
(
t
−
t
0
)
(6.17)
für alle
(
v
,
t
)
∈
X
×
R
. Es ist
s
≤
0, denn
s
>
0 führt mit
v
=
u
,
t
>
τ
und
t
→
∞
zu
einen Widerspruch in (6.16). Den Fall
s
=
0 können wir folgt ausschließen: Wir wählen
v
=
u
und
t
=
t
0
in (6.17), damit ergibt sich wegen
τ
=
t
0
der Widerspruch
u
0
2
X
2
u
0
2
X
=
−
≥
−
+(
τ −
)
−
−
>
0
w
,
u
u
u
t
0
u
0.
Es gilt also
s
<
0 womit (6.16) für
v
=
u
und
t
=
F
(
u
)
die Ungleichung
τ
≤
F
(
u
)
und,
(
τ
)
∈
τ
=
(
)
∈
=
(
)
da
u
,
epi
F
, auch
F
u
folgt. Für
v
dom
F
beliebig und
t
F
v
ist letztlich
s
F
)
≤
−
+
(
)
−
(
∀
∈
w
,
v
u
v
F
u
0
v
dom
F
,
s
−
1
w
,
v
also, anders ausgedrückt,
F
(
u
)+
−
−
u
≤
F
(
v
)
für alle
v
∈
X
und dam
it
s
−
1
w
−
∈ ∂
(
)
F
u
.
Die zur Verfügung stehenden Aussagen entfalten ihr Potential in der Anwendung
auf konkrete Minimierungsprobleme.
Beispiel 6.55
1.
Minimierung unter Nebenbedingungen
Es sei
F
:
X
→
ein konvexes, Gâteaux-differenzierbares Funktional und
K
eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Teilmenge von
X
. Minimierer
u
∗
der
Aufgabe
R
∞
(
)
min
u
F
u
∈
K
sind nach Satz 6.43 genau diejenigen
u
∗
mit 0
u
∗
)
∈ ∂
(
+
)(
F
I
K
. Nun lässt sich aber
u
∗
)=
∂
u
∗
)+
∂
u
∗
)=
u
∗
)+
∂
u
∗
)
nach Satz 6.51 schreiben
∂
(
F
+
I
K
)(
F
(
I
K
(
D
F
(
I
K
(
.
Mit dem Ergebnis aus Beispiel 6.48 wird die Optimalitätsbedingung zu
u
∗
∈
u
∗
)+
w
∗
=
w
∗
,
v
u
∗
≤
(
−
∈
K
:
F
0 mit
0 für alle
v
K
.
(6.18)
Für den Spezialfall, dass
K
=
∅
die Form
M
X
G
m
K
=
K
m
,
K
m
=
{
u
∈
(
u
)
≤
0
}
m
=
1
hat mit konvexen und Gâteaux-differenzierbaren
G
m
:
X
→
R
und ein
u
∈
X
existiert mit
G
m
(
)
<
=
1, . . . ,
M
, ergibt sich aufgrund der Charakte-
risierung in Beispiel 6.48 sowie der Summenformel für Subgradienten
u
0 für alle
m
M
m
=1
∂I
K
m
(
u
)
∂
I
K
(
u
)=
⎧
⎨
μ
m
0
falls
u
M
m
=
1
μ
m
D
G
m
(
u
)
≥
(
)=
∈
0,
μ
m
G
m
u
K
=
⎩
∅
sonst.
