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Die Stetigkeitsforderungen für die Rechenregeln lassen sich ebenfalls verallgemei-
nern. Grob gesprochen reicht für die Gültigkeit der Summenregel aus, dass
F
und
G
in einem Punkt jeweils relativ zu Unterräumen stetig ist, die in der Summe
X
er-
geben und auf die stetig projiziert werden kann. Analog ist auch die Stetigkeit von
F
auf einem Unterraum, welcher das Komplement zu rg
(
)
umfasst, hinreichend
für die Gültigkeit der Kettenregel (siehe Aufgaben 6.13-6.16).
A
In geeigneten Räumen ist die Menge der „subdifferenzierbaren“ konvexen Funktio-
nale in der Regel um einiges größer als die der Gâteaux-differenzierbaren oder stetigen
Funktionale. Diese Aussage lässt sich unter Anwendung der Summenregel beweisen.
Satz 6.54
(Existenz von nichtleeren Subdifferentialen)
Es sei F
:
X
→
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig auf dem reellen reflexiven Banach-
∞
Raum X. Dann ist
∂
F
=
∅
.
Beweis.
Wähle ein
u
0
u
0
u
0
∈
X
mit
F
(
)
<
∞
sowie
t
0
<
F
(
)
und betrachte das Minimie-
rungsproblem
I
epi
F
.
u
0
2
X
2
(
v
,
t
)
∈X×
R
min
v
−
+(
t
−
t
0
)
+
(
v
,
t
)
(6.15)
Da
F
konvex und unterhalbstetig ist, ist
I
epi
F
konvex und unterhalbstetig (Bemer-
kung 6.26 und Beispiel 6.29). Das Funktional
)
=
t
2
1/2
ist eine Norm auf
2
X
(
v
,
t
v
+
×
X
R
, somit konvex, stetig und koerziv (Beispiel 6.23 und Bemerkung 6.13). Dies gilt
offensichtlich auch für das Funktional
G
, welches durch
G
)
=
(
2
erklärt ist. Damit erfüllt das obige Problem die Voraussetzungen von Satz 6.31 (siehe
auch die Lemmata 6.14 und 6.21) und besitzt folglich einen Minimierer
u
0
,
t
(
v
,
t
v
−
−
t
0
)
(
u
,
τ
)
∈
epi
F
.
τ
=
τ
=
Für diesen Minimierer gilt notwendigerweise
t
0
: Ist nämlich
t
0
, so folgt
mit
u
0
,
F
)
u
0
und andererseits, dass die Verbindungslinie von
u
0
einerseits
u
=
(
u
,
t
0
)
(
in epi
F
liegt. Für
λ
∈
[
0, 1
]
haben wir dann
G
u
t
0
)
=(
λ
−
2
F
t
0
2
.
u
0
u
0
2
u
0
2
X
u
0
+
λ
(
−
u
)
,
t
0
+
λ
(
F
(
)
−
1
)
u
−
+
λ
(
)
−
=
F
t
0
2
u
0
2
u
0
Mit
a
=
u
−
X
und
b
(
)
−
wird dieser Ausdruck minimal für
λ
=
a
/
(
a
+
b
)
∈
]
0, 1
[
, was eingesetzt
G
u
)
=
ab
2
a
2
b
b
2
a
2
+
a
(
+
2
ab
+
)
u
0
u
0
u
0
2
X
+
λ
(
−
)
+
λ
(
(
)
−
<
=
−
u
,
t
0
F
t
0
u
(
+
)
2
(
+
)
2
a
b
a
b
u
0
2
X
−
>
(
τ
)
impliziert, denn
u
0. Folglich kann
u
,
kein Minimierer sein, ein Wider-
spruch.
Mit Subgradienten ausgedrückt lautet nun die Minimierungseigenschaft
∈ ∂
(
+
)(
τ
)=
∂
(
τ
)+
∂
(
τ
)
0
I
epi
F
G
u
,
I
epi
F
u
,
G
u
,
,
X
∗
×
(
)
∈
letzteres nach Satz 6.51. Insbesondere gibt es also ein
w
,
s
R
mit
−
+
(
− τ
)
≤
∀
(
)
∈
w
,
v
u
s
t
0
v
,
t
epi
F
,
(6.16)
