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X
=
X
, so gilt
=
X
∗
X
.
Nimmt man das Supremum über alle
v
u
w
,
u
w
u
Falls
u
=
0, bekommen wir aus der Subgradientenungleichung darüber hinaus, dass
≥
X
=
für festes
t
0 und alle
v
t
gilt
≤
ϕ
X
=
ϕ
(
ϕ
(
0
)+
w
,
v
−
0
v
t
)
⇒
ϕ
(
0
)+
w
X
t
≤
ϕ
(
t
)
,
X
∗
∈
∂ϕ
X
. Für Letzteres haben wir implizit
ϕ
(
und, da
t
≥
0 beliebig war,
w
u
t
)=
−
X
u
für
inf
s≥
0
ϕ
(
s
)
für
t
<
0 fortgesetzt. Der Fall
u
=
0 liefert, setzen wir
v
=
t
u
beliebiges
t
≥
0 in die Subgradientenungleichung,
)=
ϕ
X
≥
ϕ
X
+
=
ϕ
X
+
ϕ
(
t
v
u
w
,
v
−
u
u
w
X
∗
(
t
−
u
X
)
,
X
∗
∈ ∂ϕ
X
.
und folglich ebenfalls
w
u
X
∗
∈
∂ϕ
X
.
X
∗
derart, dass
Andersherum sei
w
∈
w
,
u
=
w
X
∗
u
X
und
w
u
∈
Für alle
v
X
gilt nun
ϕ
X
+
≤
ϕ
X
+
X
)
≤
ϕ
X
,
u
w
,
v
−
u
u
w
X
∗
(
v
X
−
u
v
also
w
.
Satz 6.46 besagt, dass
∈
∂F
(
u
)
(
)
= ∅
X
<
∂ϕ
(
)
= ∅
∂
F
u
für alle
u
R
. Ist darüber hinaus
R
,
X
∗
für welches die
so folgt dies sogar für alle
u
X
≤
R
, denn es gibt immer ein
w
∈
Forderung
X
∗
erfüllt ist.
Für den Fall, dass
X
ein Hilbert-Raum ist, lässt sich
w
,
u
=
w
X
∗
u
X
mit Vorgabe von
w
∂
F
genauer angeben. Unter Zu-
hilfenahme der Riesz-Abbildung
J
−
1
X
argumentiert man: Ist
u
=
0, so gilt
w
,
u
=
u
,
J
−
X
w
J
−
X
w
X
∗
X
genau dann, wenn
(
)=
X
X
, welches wiederum äqui-
w
u
u
0 ist, so dass
J
−
X
w
λ ≥
=
λ
valent zu der Existenz eines
u
gilt. Die Bedingung
X
∈
∂ϕ
λ
∈
∂ϕ
X
/
w
u
X
)
wird damit zu
u
u
X
, der Subgradient sind also
λ ∈ ∂ϕ
X
/
X
. Ist
u
=
gegeben durch
λ
J
X
u
mit
u
u
0, so besteht er genau aus jenen
X
∗
mit
J
X
v
∈
v
X
∈
∂ϕ
(
0
)
. Zusammengefasst bekommen wir also
⎧
⎨
∂ϕ
X
J
X
u
u
falls
u
=
0,
u
X
∂
F
(
u
)=
⎩
∂ϕ
(
0
)
J
X
{
v
X
=
1
}
falls
u
=
0.
Beispiel 6.50
(Subdifferential konvexer Integration)
Sei, wie in Beispiel 6.23,
:
R
N
ϕ
→
,
N
≥
1 ein konvexes Funktional,
p
∈
[
1,
∞
[
und
R
)=
Ω
ϕ
u
∞
)
d
x
gegeben. Ist
F
:
L
p
,
R
N
(
Ω
)
→
R
durch
F
(
u
(
x
ϕ
unterhalbstetig, so
∞
L
p
,
R
N
∈
(Ω
)
entspricht der Subgradient von
F
in
u
der Menge
)
w
)
∈ ∂ϕ
u
)
für fast alle
x
L
p
∗
,
R
N
(
)=
{
∈
(Ω
(
(
∈
Ω
}
∂
F
u
w
x
x
.
L
p
∗
L
p
,
R
N
)
∗
=
,
R
N
∈
(Ω
(Ω
)
Dies kann man folgendermaßen sehen: Erfüllt
w
die Be-
)
∈
∂ϕ
u
)
fast überall, so können wir für
v
L
p
,
R
N
dingung
w
(
x
(
x
∈
(
Ω
)
fast überall
(
)
v
x
in die Subgradientenungleichung einsetzen und erhalten nach Integration
Ω
ϕ
u
)
d
x
Ω
ϕ
v
)
d
x
,
(
+
−
L
p
L
p
∗
≤
(
x
w
,
v
u
x
×
