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In-Depth Information
•
kompakt
für den Fall, dass jede Überdeckung von
U
mit einer Familie offener Men-
gen eine endliche Teilüberdeckung besitzt, also
V
i
offen,
i
∈
I
mit
U
⊂
V
i
⇒∃
J
⊂
I
,
J
endlich mit
U
⊂
V
j
.
i
∈I
j
∈J
Den Sachverhalt, dass eine Menge
U
eine kompakte Teilmenge von
X
ist, notieren
wir mit
U
⊂⊂
X
.
(
)
Weiterhin bezeichne das
Innere von U
, abgekürz
t d
urch int
, die Menge aller inne-
ren Punkte und der
Abs
ch
luss von U
, notiert mit
U
, die Menge aller Berührpunkte. Die
Mengendifferenz
U
=
\
(
)
∂
U
U
int
U
ist der
Rand
. Für offene
r
-Bälle gilt
X
(
)=
{
∈
−
X
≤
}
B
r
x
x
x
y
r
,
weswegen letzteres auch
ab
geschlossener r-Ball
genannt wird. Man sagt, eine Teilmenge
U
X
. Insbesondere wird
X
als
separabel
bezeichnet, wenn es
eine abzählbare dichte Teilmenge gibt.
Normierte Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom [66], daher kann man Ab-
geschlossenheit und Kompaktheit auch durch Folgen und deren Konvergenz beschrei-
ben.
⊂
X
ist
dicht
in
X
, falls
U
=
(
)
→
∈
(
−
)
•
Man sagt, eine Folge
x
n
:
N
X
konvergiert gegen ein
x
X
, falls
x
n
x
eine Nullfolge ist. Dies wird auch mit
x
n
→
x
für
n
→
∞
oder
x
=
lim
n→
∞
x
n
bezeichnet.
•
Die Abgeschlossenheit von
U
ist dann äquivalent zu der Forderung, dass für
jede Folge
(
x
n
)
in
U
mit
x
n
→
x
der Grenzwert
x
auch in
U
ist (
Folgen-
Abgeschlossenheit
).
(
)
•
Die Teilmenge
U
ist genau dann kompakt, wenn jede Folge
x
n
in
U
eine konver-
gente Teilfolge besitzt (
Folgenkompaktheit
).
Für nichtleere Teilmengen
V
⊂
X
erhält man in natürlicher Weise eine Topologie auf
V
durch Einschränkung; man spricht dann von der
Relativ-Topologie
. Die oben eingeführ-
ten Begriffe ergeben sich einfach durch das Ersetzen von
X
durch die Teilmenge
V
in
den jeweiligen Definitionen.
Beispiel 2.3
(Konstruktion normierter Räume)
Für endlich viele normierte Räume
X
i
,
·
X
i
,
i
1.
=
1, . . . ,
N
und einer Norm
·
auf
R
N
ist der Produktraum
(
=
×···×
(
)
Y
=
X
1
,...,
X
N
)
Y
X
1
X
N
,
x
1
,...,
x
N
x
1
x
N
ein normierter Raum.
2.
Ein Unterraum
U
eines normierten Raumes
(
·
X
)
(
·
X
)
wie-
der einen normierten Raum. Seine Topologie entspricht der Relativ-Topologie auf
U
.
X
,
ergibt mit
U
,
