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(
)
∂
I
K
u
(
)
D
G
u
0
u
u
G
≤
0
K
D
G
(
u
)
,
(
v
−
u
)
≤
0
Abbildung 6.9.
Veranschaulichung der zu konvexen Beschränkungen assoziierten Normalenkegel. Links: Der
Normalenkegel zur Menge
K
=
{
G
≤
0
}
mit Gâteaux-differenzierbarem
G
entspricht genau allen nicht-
negativen Vielfachen der Ableitung D
G
(
u
)
. Die Ebene
D
G
(
u
)
,
v
−
u
=
0 ist „tangential“ an
u
und
K
im
entsprechenden nicht-positiven Halbraum
D
G
(
u
)
,
v
−
u
≤
0 enthalten. Rechts: Ein Beispiel für eine konve-
xe Menge
K
, deren Normalenkegel
∂
I
K
(
u
)
im Punkt
u
zwei linear unabhängige Richtungen enthält.
)
μ ≥
∈{μ
(
}
=
μ
(
)
μ <
Angenommen,
w
/
D
G
u
0
. Ist
w
D
G
u
mit
0, so folgt für jedes
v
mit
D
G
(
u
)
,
v
<
0 die Ungleichung
w
,
v
>
0, ein Widerspruch. Also kann man
R
2
(
)
→
annehmen, dass
w
und D
G
u
linear unabhängig sind. Die Abbildung
T
:
X
mit
v
→
(
D
G
(
u
)
,
v
,
w
,
v
)
ist folglich surjektiv: andernfalls gäbe es ein Paar
(
α
,
β
)
=
0 mit
α
D
G
(
u
)
,
v
=
β
w
,
v
für alle
v
∈
X
,D
G
(
u
)
und
w
wären also nicht linear
unabhängig. Dies liefert die Existenz eines
v
∈
(
)
<
>
X
mit
D
G
u
,
v
0 und
w
,
v
0,
was den erwünschten Widerspruch zur Folge hat. Es muss also
w
=
μ
D
G
(
u
)
mit
μ
≥
0
gelten.
Schließlich ist jedes
w
=
μ
D
G
(
u
)
mit
μ
≥
0in
∂
G
(
u
)
enthalten. Mit Satz 6.33 folgt
∈
nämlich für alle
v
K
w
,
v
−
u
=
μG
(
u
)+
μ
D
G
(
u
)
,
v
−
u
≤
μG
(
v
)
≤
0.
Der Subgradient von
I
K
kann damit vollständig durch
G
beziehungsweise dessen
Ableitung ausgedrückt werden und enthält höchstens eine Richtung, eine Eigenschaft,
die im allgemeinen Fall nicht gilt (siehe Abbildung 6.9).
Beispiel 6.49
(Subdifferential von Norm-Funktionalen)
Sei
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
eine konvexe, monoton steigende Funktion und bezeichne mit
R
=
0
ϕ
(
∞
{
≥
)
<
∞
}
= ∞
sup
t
t
, wobei
R
zulässig sei. Dann ist auf dem reellen normierten
X
konvex.
Der Subgradient von
F
in
u
ist nun charakterisiert durch
)=
ϕ
Raum
X
das Funktional
F
(
u
u
)=
w
X
∗
X
∗
∈
∂ϕ
X
.
∂
F
(
u
∈
w
,
u
=
w
X
∗
u
X
und
w
u
∈ ∂
(
)
≤
∈
X
=
X
folgt
Zum Beweis sei
w
F
u
für
u
R
. Für jeden Vektor
v
X
mit
v
u
mit der Subgradientenungleichung (6.10)
ϕ
X
+
≤ϕ
X
−
⇒
≤
≤
X
∗
X
.
u
w
,
v
u
u
w
,
v
w
,
u
w
u
