Image Processing Reference
In-Depth Information
n
n
K
K
i
n
i
1
v
n
v
0
≥
≤
=
für geeignete
λ
1
,...,
λ
0 mit
∑
λ
n
. Demnach folgt lim
n→
∞
sowie
=
1
mit der Konvexität von
F
:
1
i
F
K
i
=
1
λ
K
i
=
1
λ
v
n
n
v
0
n
u
i
v
0
(
)
≤
−
(
)+
(
)=
(
)
lim sup
n
F
lim sup
n
i
F
F
.
→
∞
→
∞
Folgende Beispiele zeigen eine erste nicht-triviale Anwendung des Subdifferential-
kalküls.
Beispiel 6.48
(Subdifferential konvexer und abgeschlossener Beschränkungen)
Es sei
K
eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Menge im reellen normierten
Raum
X
. Dann ist das Subdifferential des Indikatorfunktionals
∂
I
K
in
u
∈
K
charak-
terisiert durch
w
∈
∂
I
K
(
u
)
⇔
w
,
v
−
u
≤
0
für alle
v
∈
K
.
ein
konvexer Kegel
ist: mit
w
1
,
w
2
(
)
∈ ∂
(
)
Man kann leicht sehen, dass
∂
I
K
u
I
K
u
ist auch
w
1
w
2
+
∈
∂
I
K
(
u
)
sowie für alle
u
∈
∂
I
K
(
u
)
,
α
≥
0 auch
α
u
∈
∂
I
K
(
u
)
. Dieser wird
Normalenkegel
genannt. Darüber hinaus gilt stets 0
∈
∂
I
K
(
u
)
, der Subgradient ist also
u
0
,
U
abgeschlossener Unterraum und
genau auf
K
nichtleer. Der Spezialfall
K
=
U
+
U
⊥
für alle
u
u
0
∈
X
ergibt
∂
I
K
(
u
)=
∈
K
.
= ∅
Genügt
K
der Forderung
X
G
K
=
{
u
∈
(
u
)
≤
0,
G
:
X
→
R
konvex und Gâteaux-differenzierbar
}
,
und existiert ein
u
mit
G
(
u
)
<
0, so gilt
)
μ
≥
{
μ
D
G
(
u
0,
μ
G
(
u
)=
0
}
falls
u
∈
K
,
∂
I
K
(
u
)=
∅
sonst.
(
)
<
(
)=
{
}
Für
G
u
0 ist dafür
∂
I
K
u
0
zu zeigen. Wegen der Stetigkeit von
G
gilt für ein
geeignetes
δ
>
0, dass
G
(
u
+
v
)
<
0 für alle
v
X
<
δ
, also erfüllt jedes
w
∈
∂I
K
(
u
)
die
=
+
−
≤
X
< δ
=
Ungleichung
w
,
v
w
,
u
v
u
0 für alle
v
, es muss also
w
0 gelten.
Damit ist
{
0
}
das einzige Element in
∂
G
(
u
)
.
)
μ ≥
)
=
0 gelten: andernfalls wäre
u
ein Minimierer von
G
und das Funktional könnte keine
negativen Werte annehmen. Wähle ein beliebiges
w
(
)=
(
)=
{μ
(
}
(
Für
G
u
0 lautet die Behauptung
∂
I
K
u
D
G
u
0
. Es muss D
G
u
∈
∂
I
K
(
u
)
. Dann lässt sich für jedes
∈
(
)
=
−α
v
<
>
v
X
mit
D
G
u
,
v
0 aufgrund der Gâteaux-Differenzierbarkeit ein
t
0
finden, so dass
≤
α
v
2
(
+
)
−
(
)
−
(
)
G
u
tv
G
u
D
G
u
,
tv
t
.
(
α
2
+
t
α
2
Daraus folgt
G
(
u
+
tv
)
≤
t
D
G
(
u
)
,
v
)=
−
<
0 und damit
u
+
tv
∈
K
.
Eingesetzt in die Subgradientenungleichung ergibt sich
≤
(
)
<
w
,
v
0
für alle
D
G
u
,
v
0.
