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Definition 2.1 (Normierter Raum)
Es sei X ein K -Vektorraum. Eine Funktion
·
: X
[
0,
[
wird als Norm bezeichnet,
wenn sie folgende Eigenschaften besitzt.
1.
λ
x
= | λ |
x
für
λ
K und x
X ,
(positive Homogenität)
+
+
2.
x
y
x
y
für x , y
X ,
(Dreiecksungleichung)
3.
x
=
0
x
=
0.
(positive Definitheit)
Das Paar
(
X ,
· )
ist dann ein normierter Raum .
· 1 ,
· 2 auf X werden als äquivalent bezeichnet, wenn Konstanten
Zwei Normen
0
<
c
<
C existieren, so dass
c
x
1
x
2
C
x
1
für alle x
X .
Um Normen zu unterscheiden, versehen wir sie häufig mit der Bezeichnung des un-
terliegenden Vektorraumes, zum Beispiel
· X für die Norm in X . Verbreitet ist auch
der Verweis auf X als der normierte Raum, sofern die verwendete Norm aus dem Kon-
text klar ist. Normen auf endlichdimensionalen Räumen werden im Folgenden in vie-
len Fällen als
notiert. Da im Falle eines endlichdimensionalen Raumes alle Normen
äquivalent sind, spielen sie eine andere Rolle als in unendlichdimensionalen Räumen.
|·|
Beispiel 2.2 (Normierte Räume)
Das Paar
(
K ,
|·| )
ist offensichtlich ein normierter Raum.
<
Für N
1 und 1
p
definieren
p 1/ p
N
i =1 |x i |
|
| p =
|
| =
} |
|
x
bzw.
x
max
x i
i
∈{
1,..., N
äquivalente Normen für K N . Die Dreiecksungleichung für
|·| p ist auch unter dem Na-
=
|·| 2 die Euklidische Vektor-
men Minkowski-Ungleichung bekannt. Für p
2 nennen wir
norm und kürzen in der Regel
|·| = |·| 2
ab.
Die Norm auf einen Vektorraum impliziert sofort eine Topologie auf X , die Norm-
Topologie (oder starke Topologie): Zunächst definiere für x
>
X und r
0 den offenen
r-Ball um x als die Menge
X
B r
(
x
)= {
y
x
y
<
r
}
.
Eine Teilmenge U
X ist genau dann
offen , falls sie nur aus inneren Punkten besteht, also es für jedes x
U ein
ε >
0
ε (
)
derart gibt, dass B
x
U ,
eine Umgebung von x
X , falls x ein innerer Punkt von U ist,
abgeschlossen , wenn sie nur aus Berührpunkten besteht, das heißt für jedes x
X
für welches die Mengen B
ε (
x
)
für jedes
ε >
0 die Menge U schneiden, auch x
U
gilt,
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