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Definition 2.1
(Normierter Raum)
Es sei
X
ein
K
-Vektorraum. Eine Funktion
·
:
X
→
[
0,
∞
[
wird als
Norm
bezeichnet,
wenn sie folgende Eigenschaften besitzt.
1.
λ
x
=
|
λ
|
x
für
λ
∈
K
und
x
∈
X
,
(positive Homogenität)
+
≤
+
∈
2.
x
y
x
y
für
x
,
y
X
,
(Dreiecksungleichung)
3.
x
=
0
⇔
x
=
0.
(positive Definitheit)
Das Paar
(
X
,
·
)
ist dann ein
normierter Raum
.
·
1
,
·
2
auf
X
werden als
äquivalent
bezeichnet, wenn Konstanten
Zwei Normen
0
<
c
<
C
existieren, so dass
c
x
1
≤
x
2
≤
C
x
1
für alle
x
∈
X
.
Um Normen zu unterscheiden, versehen wir sie häufig mit der Bezeichnung des un-
terliegenden Vektorraumes, zum Beispiel
·
X
für die Norm in
X
. Verbreitet ist auch
der Verweis auf
X
als der normierte Raum, sofern die verwendete Norm aus dem Kon-
text klar ist. Normen auf endlichdimensionalen Räumen werden im Folgenden in vie-
len Fällen als
notiert. Da im Falle eines endlichdimensionalen Raumes alle Normen
äquivalent sind, spielen sie eine andere Rolle als in unendlichdimensionalen Räumen.
|·|
Beispiel 2.2
(Normierte Räume)
Das Paar
(
K
,
|·|
)
ist offensichtlich ein normierter Raum.
≥
≤
<
∞
Für
N
1 und 1
p
definieren
p
1/
p
N
i
=1
|x
i
|
|
|
p
=
|
|
∞
=
}
|
|
x
bzw.
x
max
x
i
i
∈{
1,...,
N
äquivalente Normen für
K
N
. Die Dreiecksungleichung für
|·|
p
ist auch unter dem Na-
=
|·|
2
die
Euklidische Vektor-
men
Minkowski-Ungleichung
bekannt. Für
p
2 nennen wir
norm
und kürzen in der Regel
|·|
=
|·|
2
ab.
Die Norm auf einen Vektorraum impliziert sofort eine Topologie auf
X
, die
Norm-
Topologie
(oder starke Topologie): Zunächst definiere für
x
∈
>
X
und
r
0 den
offenen
r-Ball um x
als die Menge
X
B
r
(
x
)=
{
y
∈
x
−
y
<
r
}
.
Eine Teilmenge
U
⊂
X
ist genau dann
•
offen
, falls sie nur aus
inneren Punkten
besteht, also es für jedes
x
∈
U
ein
ε
>
0
ε
(
)
⊂
derart gibt, dass
B
x
U
,
•
eine
Umgebung von x
∈
X
, falls
x
ein innerer Punkt von
U
ist,
•
abgeschlossen
, wenn sie nur aus
Berührpunkten
besteht, das heißt für jedes
x
∈
X
für welches die Mengen
B
ε
(
x
)
für jedes
ε
>
0 die Menge
U
schneiden, auch
x
∈
U
gilt,