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Diese Beobachtung ermöglicht es, eine fundamentale topologische Eigenschaft über
abgeschlossene Mengen in Banach-Räumen zu beweisen:
Lemma 6.27 (Konvexe, schwach abgeschlossene Teilmengen)
Eine konvexe Teilmenge A
X eines Banach-Raumes X ist genau dann schwach folgenabge-
schlossen, wenn sie abgeschlossen ist.
Beweis. Da schwache Konvergenz starke Konvergenz verallgemeinert, folgt sofort,
dass schwach folgenabgeschlossene Mengen abgeschlossen sind. Für den gegentei-
ligen Schluss wird zunächst angenommen, es gebe eine Folge
u n
(
)
in A und ein
A , so dass u n
\
u
.Da A konvex und abgeschlossen ist, exis-
tiert nach den Trennungssätzen von Hahn-Banach (Satz 2.29) ein x
X
u für n
X und ein
x , u n
x , u
λ ∈
X × X ≤ λ
X × X
> λ
R mit Re
und Re
. Dies bedeutet aber, dass
x , u n
x , u
lim n→
X ×X was im Widerspruch zur schwachen Konverge nz
steht. Folglich muss A schwach folgenabgeschlossen sein.
X ×X =
Für konvexe Funktionale hat dies eine nützliche Charakterisierung der schwachen
Folgen-Unterhalbstetigkeit zur Folge.
Korollar 6.28
Ein konvexes Funktional F : X
R
ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn es unter-
halbstetig ist.
Beweis. Dies ergibt sich als Anwendung von Lemma 6.27 auf den Epigraphen in Ve r-
bindung mit Bemerkung 6.26.
Dies lässt sich anwenden, um die schwache Unterhalbstetigkeit von Funktionalen
zu beweisen, dessen Typ wir bereits aus den Beispielen 6.1, 6.18 sowie 6.23 kennen.
Beispiel 6.29 (Konvexe, schwach unterhalbstetige Funktionale)
1.
Normen
Ist Y ein reflexiver Banach-Raum, der stetig in X eingebettet ist, so ist
· Y un-
u n
mit u n
terhalbstetig auf X : Sei
(
)
u in X für n
beliebig. Im Falle
u n
lim inf n→
Y = ∞
ist die zu zeigende Ungleichung sofort klar, andernfalls
wählt man eine Teilfolge
u n k
u n
u n k
. Auf-
grund der Reflexivität von Y können wir ohne Einschränkung annehmen, dass
(
(
)
mit lim inf n
Y =
lim k→
Y <
u n k
)
schwach gegen ein v
Y konvergiert. Nun gilt wegen der stetigen Einbet-
tung in X auch u n k
=
· Y
v für k
in X , es muss daher v
u sein. Da
schwach unterhalbstetig ist, folgt schließlich
u n k
u n
u
Y
lim inf
k
Y =
lim inf
n
Y .
Darüber hinaus ist
· Y konvex (siehe Beispiel 6.23), daher auch schwach folgen-
unterhalbstetig.
 
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