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Beweis. Wir zeigen zunächst die folgende Aussage: Ist F von oben beschränkt in einer
Umgebung von u 0
X , so ist F Lipschitz stetig in einer Umgebung von u 0 . Nach Vor-
aussetzung gibt es ein
u 0
>
>
(
)
(
)
δ 0
0 und R
0, so dass F
u
R immer wenn u
B
.
δ
0
u 0
u 0
gilt u 0
1
1
2
2 u 0
Nun ist F auf B
(
)
(
)
=
+
(
von unten beschränkt: Für u
B
2 u
δ
δ
0
0
u
)
und folglich
1
2 F
1
2 F
u 0
2 u 0
(
)
(
)+
(
)
F
u
u
.
Wegen 2 u 0
u 0
(
)
=
u
B
erhalten wir durch Umstellen die untere Schranke
L
δ 0
u 0
2 F
(
)
R :
u 0
2 u 0
u 0
F
(
u
)
2 F
(
)
F
(
u
)
2 F
(
)
R
=
L .
+ α 1
u 0
Sind nun u , v
B
(
)
verschieden, so ist der Vektor w
=
u
(
u
v
)
mit
α =
δ 0 /2
u 0
X /
(
)
2
u
v
δ 0 immer noch in B
, denn
δ
0
X < δ 0
δ 0
u 0
u 0
X + α 1
w
X
u
v
u
2 +
X
u
v
X = δ 0 .
2
u
v
1
α
Schreiben wir u
=
v
+
w als Konvexkombination, so folgt
1
+ α
1
+ α
F
)
1
α
)= α
1
F
(
u
)
F
(
v
)
F
(
v
)+
F
(
w
)
F
(
v
(
w
)
F
(
v
1
+ α
1
+ α
+ α
≤ α (
+
)=
X ,
R
L
C
u
v
u 0
(
)
dabei wird die Beschränktheit von F in B
nach oben und unten sowie die Definiti-
δ
0
on von
benutzt. Durch Vertauschen von u und v in dieser Argumentation bekommen
wir die Lipschitz-Abschätzung
α
u 0
|
(
)
(
) |≤
X in B
(
)
F
u
F
v
C
u
v
.
δ 0 /2
Schließlich zeigen wir, dass F in jedem inneren Punkt u 1
von dom F eine obere
derart, dass F λ 1 u 1
Schranke in einer Umgebung von u 1 besitzt. Sei dazu
λ ]
0, 1
[
u 0
λ → λ 1 u 1
u 0
(
− λ )
=
<
(
− λ )
1
S
. So ein
λ
existiert, denn die Abbildung
1
ist stetig in 1 und nimmt dort u 1 an. Weiterhin wähle für ein gegebenes v
u 1
B
−λ ) δ 0 (
)
(
1
u 1
u 0
=
+(
)
(
− λ )
(
)
den Vektor u
u 0
v
/
1
, welcher offensichtlich in B
liegt. Damit ist
δ
0
= λλ 1
u 1
u 0
v eine Konvexkombination, denn v
(
(
1
λ )
)+(
1
λ )
u , und es folgt
F λ 1 u 1
u 0
F
(
v
) λ
(
1
λ )
+(
1
λ )
F
(
u
)
S
+
R .
Diese v bilden eine Umgebung von u 1 in der F beschränkt ist, daher ist F lokal Lipschit z-
stetig.
Bemerkung 6.26
Man sieht leicht den folgenden, zu Bemerkung 6.8 analogen, Zusammenhang von kon-
vexen Funktionalen und konvexen Mengen:
Ein Funktional ist genau dann konvex, wenn der Epigraph konvex ist.
Es ist genau dann konvex und unterhalbstetig, wenn der Epigraph konvex und
abgeschlossen ist.
Insbesondere sind für ein konvexes und unterhalbstetiges F für alle t
R die
X F
{
(
)
}
Sub-Level-Sets
u
u
t
konvex und abgeschlossen.
 
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