Image Processing Reference
In-Depth Information
Beweis.
Wir zeigen zunächst die folgende Aussage: Ist
F
von oben beschränkt in einer
Umgebung von
u
0
X
, so ist
F
Lipschitz stetig in einer Umgebung von
u
0
. Nach Vor-
aussetzung gibt es ein
∈
u
0
>
>
(
)
≤
∈
(
)
δ
0
0 und
R
0, so dass
F
u
R
immer wenn
u
B
.
δ
0
u
0
u
0
gilt
u
0
1
1
2
2
u
0
Nun ist
F
auf
B
(
)
∈
(
)
=
+
(
−
von unten beschränkt: Für
u
B
2
u
δ
δ
0
0
u
)
und folglich
1
2
F
1
2
F
u
0
2
u
0
(
)
≤
(
)+
(
−
)
F
u
u
.
Wegen 2
u
0
u
0
−
∈
(
)
−
=
u
B
erhalten wir durch Umstellen die untere Schranke
L
δ
0
u
0
2
F
(
)
−
R
:
u
0
2
u
0
u
0
F
(
u
)
≥
2
F
(
)
−
F
(
−
u
)
≥
2
F
(
)
−
R
=
−
L
.
+
α
−
1
u
0
Sind nun
u
,
v
∈
B
(
)
verschieden, so ist der Vektor
w
=
u
(
u
−
v
)
mit
α
=
δ
0
/2
u
0
−
X
/
(
)
2
u
v
δ
0
immer noch in
B
, denn
δ
0
X
<
δ
0
δ
0
u
0
u
0
X
+
α
−
1
w
−
X
≤
u
−
v
−
u
2
+
X
u
−
v
X
=
δ
0
.
2
u
−
v
1
α
Schreiben wir
u
=
v
+
w
als Konvexkombination, so folgt
1
+
α
1
+
α
F
)
1
α
)=
α
1
F
(
u
)
−
F
(
v
)
≤
F
(
v
)+
F
(
w
)
−
F
(
v
(
w
)
−
F
(
v
1
+
α
1
+
α
+
α
≤ α
(
+
)=
−
X
,
R
L
C
u
v
u
0
(
)
dabei wird die Beschränktheit von
F
in
B
nach oben und unten sowie die Definiti-
δ
0
on von
benutzt. Durch Vertauschen von
u
und
v
in dieser Argumentation bekommen
wir die Lipschitz-Abschätzung
α
u
0
|
(
)
−
(
)
|≤
−
X
in
B
(
)
F
u
F
v
C
u
v
.
δ
0
/2
Schließlich zeigen wir, dass
F
in jedem inneren Punkt
u
1
von dom
F
eine obere
derart, dass
F
λ
−
1
u
1
Schranke in einer Umgebung von
u
1
besitzt. Sei dazu
λ
∈
]
0, 1
[
−
u
0
λ → λ
−
1
u
1
u
0
(
− λ
)
=
<
∞
−
(
− λ
)
1
S
. So ein
λ
existiert, denn die Abbildung
1
ist stetig in 1 und nimmt dort
u
1
an. Weiterhin wähle für ein gegebenes
v
u
1
∈
B
−λ
)
δ
0
(
)
(
1
u
1
u
0
=
+(
−
)
(
− λ
)
(
)
den Vektor
u
u
0
v
/
1
, welcher offensichtlich in
B
liegt. Damit ist
δ
0
=
λλ
−
1
u
1
u
0
v
eine Konvexkombination, denn
v
(
−
(
1
−
λ
)
)+(
1
−
λ
)
u
, und es folgt
F
λ
−
1
u
1
u
0
F
(
v
)
≤
λ
−
(
1
−
λ
)
+(
1
−
λ
)
F
(
u
)
≤
S
+
R
.
Diese
v
bilden eine Umgebung von
u
1
in der
F
beschränkt ist, daher ist
F
lokal Lipschit
z-
stetig.
Bemerkung 6.26
Man sieht leicht den folgenden, zu Bemerkung 6.8 analogen, Zusammenhang von kon-
vexen Funktionalen und konvexen Mengen:
•
Ein Funktional ist genau dann konvex, wenn der Epigraph konvex ist.
•
Es ist genau dann konvex und unterhalbstetig, wenn der Epigraph konvex und
abgeschlossen ist.
•
Insbesondere sind für ein konvexes und unterhalbstetiges
F
für alle
t
∈
R
die
X
F
{
∈
(
)
≤
}
Sub-Level-Sets
u
u
t
konvex und abgeschlossen.