Image Processing Reference
In-Depth Information
spiel 6.4. Die Minimierung von
F
über
K
ist damit äquivalent zum Minimierungs-
problem
min
u
F
(
u
)+
I
K
(
u
)
.
∈X
Funktionale in
X
∗
Ein Element
x
∗
∈
4.
X
∗
und eine konvexe Funktion
ϕ
:
K
→
sind in der Kompo-
R
∞
x
∗
,
sition
ϕ
◦
·
X
∗
×X
stets konvex.
◦
5.
Verkettung mit linearer Abbildung
F
A
Ist
A
: dom
A
⊂
Y
→
X
eine auf dem Unterraum dom
A
definierte lineare Abbil-
dung und
F
:
X
→
R
konvex, so auch jedes
F
◦
A
:
Y
→
R
mit
∞
∞
F
(
Ay
)
falls
y
∈
dom
A
(
F
◦
A
)(
y
)=
∞
sonst.
6.
Konvexe Integration
Allgemein gilt für Integrale: Ist
L
p
,
K
N
(Ω
μ
)
=
(Ω
)
,
F
,
ein Maßraum und
X
für
:
K
N
ein
N
≥
1,
ϕ
→
R
konvex, unterhalbstetig so ist
∞
Ω
ϕ
u
)
d
x
,
(
)=
(
F
u
x
konvex zumindest in den Punkten, in denen das Integral existiert (es ist möglich,
dass
|·|◦
ϕ
◦
u
nicht integrierbar ist; die Funktion
ϕ
◦
u
ist jedoch aufgrund der
Unterhalbstetigkeit von
ϕ
stets messbar). Analoges gilt für strikte Konvexität von
stets gilt:
Ω
L
p
ϕ
, da für nichtnegative
f
∈
(Ω)
=
=
f
d
x
0 impliziert
f
0 fast
überall.
Insbesondere sind die Normen
p
=
Ω
|
p
d
x
1/
p
in
L
p
,
K
N
(
)
|
(Ω
)
u
u
x
strikt
auf
K
N
strikt konvex
konvex für
p
∈
]
1,
∞
[
, falls die verwendete Vektornorm
|·|
ist.
Bemerkung 6.24
(Konvexität der motivierenden Beispiele)
Das zu minimierende Funktional in (6.1) aus Beispiel 6.1 ist strikt konvex: Dies lässt
sich unter Zuhilfenahme von Bemerkung 6.22 beziehungsweise Lemma 6.21 und Punkt
2 in Beispiel 6.23 sehen. Analog prüft man auch die strikte Konvexität der Funktionale
in (6.3) und (6.5) für die Beispiele 6.2-6.4 leicht nach.
Für konvexe Funktionale kann man häufig Stetigkeit zeigen. Diese folgt bemerkens-
werterweise nur aus lokalen Beschränktheitsannahmen. Die Konvexität erlaubt hierbei,
vom Lokalen auf das Globale zu schließen.
Satz 6.25
Ist F
:
X
X so dass F in einer Umgebung von u
0
von oben
beschränkt ist, so ist F lokal Lipschitz stetig im jedem inneren Punkt von
dom
F.
konvex und existiert ein u
0
→
R
∈
∞
