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2 Mathematische Grundlagen
Die mathematische Bildverarbeitung als Teilgebiet der angewandten Mathematik ist als
solche keine abgeschlossene Theorie. Sie baut vielmehr auf einer Vielzahl von verschie-
denen Spezialgebieten auf, wie der Fourier-Analysis, den Theorien über partielle Dif-
ferentialgleichungen oder den Inversen Problemen. Dennoch kommen einige Aspekte,
wie zum Beispiel Funktionenräume und funktionalanalytische Aussagen, immer wie-
der vor. In diesem Kapitel soll es um die Grundlagen gehen, die über die in Anfän-
gervorlesungen üblicherweise vermittelte Analysis und lineare Algebra hinaus gehen.
Insbesondere stellen wir einige Begriffe der Funktionalanalysis vor und widmen uns
kurz der Maßtheorie, um dann die Klassen der Lebesgue-Räume zu untersuchen. Wei-
terhin soll eine Einführung in die Theorie der schwachen Ableitungen und der Sobolew-
Räume gegeben werden. Die Darstellung im Folgenden soll Referenzcharakter haben,
wird sich daher auf die Entwicklung der wichtigsten Begriffe sowie Ergebnisse be-
schränken und Beweise weitgehend weglassen. Es werden jedoch an geeigneten Stellen
Literaturvorschläge zum eingehenden Studium der Materie unterbreitet.
2.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis
Für die Bildverarbeitung sind überwiegend die Aspekte der Funktionalanalysis inter-
essant, die sich mit Funktionenräumen beschäftigen, denn Bilder werden mathematisch
als Funktion modelliert. Später werden wir sehen, dass sich abhängig vom Raum, in
dem ein Bild enthalten ist, verschiedene analytische Eigenschaften zeigen. Die Funktio-
nalanalysis erlaubt es, von den konkreten Räumen zu abstrahieren und Aussagen an-
hand dieser Abstraktion zu treffen. Wesentlich sind dabei die Begriffe des normierten
Raumes und des Banach- beziehungsweise Hilbert-Raums.
2.1.1 Analysis auf normierten Räumen
Bezeichne
K
entweder den Körper der reellen Zahlen
R
oder komplexen Zahlen
C
.
Für komplexe Zahlen ist der Realteil, der Imaginärteil, die Konjugation und der Betrag
jeweils erklärt durch:
|
=
√
zz
.
z
=
a
+
i
b
mit
a
,
b
∈
R
:
Re
z
=
a
,
Im
z
=
b
,
z
=
a
−
i
b
,
|
z
