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Darauf aufbauend kann man zu einer ausführlichen Modellierung und theoreti-
schen Behandlung verschiedenster Variationsmethoden in Zusammenhang mit der ma-
thematischen Bildverarbeitung kommen. Die Herangehensweise ist problemorientiert
und liefert häufig schon nach wenigen Schritten ein entsprechendes Minimierungspro-
blem. Wir gehen auf folgende Probleme ein und zeigen, wie sich Variationsmethoden
zusammen mit der entsprechenden Analysis für die Lösung einsetzen lassen:
•
Entrauschen und Bildzerlegung,
•
Entzerren/De-blurring,
•
Restaurierung/Inpainting,
• Interpolation/Bildvergrößerung.
Es werden darüber hinaus einige für die Lösung dieser Probleme anwendbare numeri-
sche Minimierungsmethoden diskutiert.
6.2 Grundlagen der Variationsrechnung und Konvexe Analysis
6.2.1 Die direkte Methode
Eine der am häufigsten verwendeten Beweistechniken um die Existenz eines Minimie-
rers für ein bestimmtes Funktional nachzuweisen ist die
direkte Methode der Variations-
rechnung
. Ihre Argumentationslinie ist sehr einfach und folgt im Wesentlichen drei ab-
strakten Schritten.
Bevor wir uns ihr zuwenden, erinnern wir uns an die Definition der
erweiterten reel-
len Zahlen
:
∞
=]
−
∞
∞]=
∪{
∞
}
R
,
R
.
≤
∞
∈
<
∞
∈
Natürlich ist
t
für alle
t
R
und
t
genau dann, wenn
t
R
. Weiterhin
∞
rechnen wir formal mit
t
+
∞
=
∞
für
t
∈
und
t
·
∞
=
∞
falls
t
>
0 sowie 0
·
∞
=
0.
R
∞
Subtraktion von
∞
sowie Multiplikation mit negativen Zahlen ist nicht definiert. Für
X
F
→
=
{
∈
(
)
<
∞
}
Abbildungen
F
:
X
R
sei dom
F
u
u
der
effektive Definitionsbe-
∞
reich
. Wir wollen häufig den Spezialfall dom
F
=
∅
ausschließen und nennen daher
F
eigentlich
, falls
F
nicht konstant
ist.
An folgende Begriffe sei ebenfalls erinnert.
∞
Definition 6.6
(Epigraph)
Der
Epigraph
eines Funktionals
F
:
X
→
R
ist die Menge
∞
R
F
epi
F
=
{
(
u
,
t
)
∈
X
×
(
u
)
≤
t
}
.
Definition 6.7
(Folgen-Unterhalbstetigkeit)
Ein Funktional
F
:
X
→
R
auf einem topologischen Raum
X
ist
folgen-unterhalbstetig
,
∞
u
n
u
n
falls für jede Folge
(
)
und
u
∈
X
mit lim
n→
∞
=
u
folgt:
u
n
(
)
≤
(
)
F
u
lim inf
n
F
.
→
∞
