Variationsmethoden - Mathematische Bildverarbeitung - page 247

von nichtkonstanten u ∗ in Ω verbietet. Dies bedeutet einerseits, dass die Lösung u ∗

eindeutig ist, andererseits lässt es sich so interpretieren, dass harmonisches Inpainting
keine zusätzlichen Strukturen erzeugen kann. In diesem Punkt scheint die Methode
sinnvolle Ergebnisse zu liefern. Zum anderen genügt u ∗ der Mittelwerteigenschaft

1

u ∗ ( u ∗ ( x

)=

d B r

)

x

−

y

)

d y

L

(

0

B r (0)

) ⊂ Ω . Mit anderen Worten ausgedrückt ist u ∗ invariant unter der „Out-
of-focus“-Mittelung (siehe Beispiel 3.12). Die Stärke der Mittelung, also der Radius r ,
hängt dabei von

sofern B r

(

x

Ω ab: Bei „größeren“ Regionen kann r größer gewählt werden. Von der
Anwendung des gleitenden Mittels wissen wir, dass sie die Tendenz hat, Kanten und
kontrastreiche Regionen in einem Bild zu verwischen. Da nun u ∗ das Ergebnis einer
Mittelung ist, wird man kaum erwarten können, dort scharfe Kanten zu sehen. Das
Modell, welches der Variationsmethode (6.5) zugrunde liegt, ist folglich nicht in der
Lage, Kanten fortzusetzen. Zusammengefasst eignet sich das harmonische Inpainting
vor allem für das Ausfüllen von homogenen Regionen.
Eine numerische Umsetzung ist zum Beispiel mit einen Finite-Differenzen-Ansatz
wie in Abschnitt 5.4 durchführbar. Abbildung 6.4 zeigt diese Methode in der Praxis. Im
linken Beispiel lassen sich auf den ersten Blick fehlende homogene Bereiche plausibel
ausfüllen, bei genauerer Betrachtung erkennt man aber, dass in der Tat Kanten oder
Stellen hoher Kontraständerung immer verwischt werden. Eklatanter ist dieser Effekt
beim rechten Beispiel zu sehen. Die Rekonstruktion weist unscharfe Regionen auf, die
nicht mehr plausibel erscheinen. Man stellt aber auch fest, dass der Eindruck der Un-
schärfe sich weniger stark ausgeprägt, wenn der auszufüllende Bereich in Relation zu
den Merkmalen auf dem Bild klein ist. Insgesamt gibt es eine gute Übereinstimmung
mit den theoretischen Resultaten. Es stellt sich dennoch die Frage, ob sich mit der Wahl
eines anderen Modells respektive Minimierungsaufgabe eine Inpainting-Methode ent-
wickeln lässt, die ähnlich gute Rekonstruktionen liefert, aber zum Beispiel auch in der
Lage ist, Kanten geeignet fortzusetzen.

Bemerkung 6.5 (Kompression mit Hilfe von Inpainting)
In Abbildung 6.4 lässt sich erkennen, dass sich das harmonische Inpainting auch zur
Bilddatenkompression eignet: Kann man die Teilmenge

Ω selbst bestimmen so lässt
sich unter Umständen ein sehr gutes Bild zurückgewinnen. Wählt man Ω beim har-

monischen Inpainting so, dass nur sehr glatte Regionen entfernt werden, so unterschei-
det sich die Rekonstruktion visuell nicht sehr vom Originalbild. Diesen Ansatz verfolgt
zum Beispiel [63].

Wie wir gesehen haben, lassen sich Minimierungsprobleme für die Lösung einer Rei-
he verschiedenartiger Bildverarbeitungsaufgaben einsetzen. Unser Ziel ist es, eine mög-
lichst allgemeine mathematische Grundlage zu deren Behandlung zu schaffen. Sam-
meln wir dazu noch einmal die Fragestellungen, die sich bisher ergeben haben.

• Was motiviert die Wahl des Diskrepanz- und Strafterms und welchen Einfluss

haben sie?