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Beispiel 6.2
(
H
1
-Entfalten)
In Bemerkung 4.21 haben wir gesehen, dass sich Unschärfe, die durch lineare Faltung
entsteht, durch Division im Fourier-Raum rückgängig machen lässt. Diese Methode
führt aber schon bei visuell nicht wahrnehmbaren Störungen, wie zum Beispiel der 256-
Graustufen-Quantisierung, zu einer merklichen Einbuße in der Rekonstruktionsquali-
tät. Enthält das Bild
u
0
noch zusätzlich Rauschen oder ist die Fouriertransformierte des
Kerns an vielen Stellen ungefähr Null, so ist eine Entfaltung auf diese Art nicht mehr
möglich.
Wir modellieren das De-blurring-Problem als Variationsproblem. Nimmt man an,
dass der Faltungskern
k
bekannt ist und
R
d
k
d
x
L
1
R
d
L
2
R
d
∈
(
)
∩
(
)
=
1 erfüllt, so
genügen die Daten und das Rauschen den Identitäten
u
0
u
†
u
0
u
†
=
∗
+
η
η
=
−
∗
k
beziehungsweise
k
.
u
0
u
0
Daher liegt es nahe, statt
Φ
(
−
u
)
den Term
Φ
(
−
u
∗
k
)
in einer entsprechenden Mi-
nimierungsaufgabe zu betrachten. Dies ergibt, wählt man
Φ
und
Ψ
wie in Beispiel 6.1,
das Problem
1
2
+
2
u
0
2
d
x
2
d
x
.
R
d
|
(
)
−
(
∗
)(
)
|
R
d
|∇
(
)
|
min
x
u
k
x
u
x
(6.3)
∈H
1
(
R
d
u
)
Analog zu Beispiel 6.1 sieht man, diesmal mit dem Faltungssatz (Satz 4.27), dass dies
äquivalent ist zu
1
2
ξ
+
2
R
d
|u
0
k
d
/2
2
d
2
2
d
(
ξ
)
−
(
π
)
(
ξ
)
u
(
ξ
)
|
R
d
|ξ|
|
u
(
ξ
)
|
min
2
ξ
,
H
1
(
R
d
u
∈
)
welches wiederum mit einer punktweisen fast-überall Minimierung gelöst werden
kann. Rechnungen ergeben
u
0
k
d
/2
(
ξ
)(
2
π
)
(
ξ
)
u
∗
(
ξ
)=
R
d
,
für fast alle
ξ
∈
|k
(
π
)
d
(
ξ
)
|
2
+
λ|ξ|
2
2
deshalb ergibt sich die Lösung wieder aus einer Faltung, diesmal mit dem Kern
λ
=
F
−
1
.
k
u
∗
=
u
0
∗
k
,
k
(6.4)
λ
|k
(
π
)
d
|
2
+
λ|·|
2
2
und
R
d
k
d
x
L
1
R
d
L
2
R
d
Wir bemerken, dass aufgrund der Annahmen
k
∈
(
)
∩
(
)
=
1
L
2
R
d
der Nenner stetig und von Null weg beschränkt ist und folglich
k
λ
∈
(
)
. Für
λ
→
0
k
−
1
punktweise, daher lässt sich die Faltung in gewisser
Weise auch als Regularisierung der Division durch
k
d
/2
π
)
−d
/2
(
π
)
λ
→
(
geht
2
2
k
auffassen, was einer „ex-
d
/2
(
2
π
)
akten“ Entfaltung entspricht.
Eine numerische Umsetzung geschieht analog zu Beispiel 6.1. In den Abbildun-
gen 6.2 und 6.3 ist das Ergebnis dieser Herangehensweise anhand eines Beispielbildes
zu sehen. Anders als in Bemerkung 4.21 wurde ein Faltungskern verwendet, dessen
