Variationsmethoden - Mathematische Bildverarbeitung - page 237

6 Variationsmethoden

6.1 Einleitung und Motivation

Um die Herangehensweise und Möglichkeiten der Variationsmethoden in der mathe-
matischen Bildverarbeitung zu motivieren, behandeln wir im Folgenden einige Bei-
spielprobleme. Betrachten wir zunächst die Aufgabe, ein gegebenes Bild von additivem
Rauschen zu befreien, das heißt u †

aus den Daten

u 0 u †

= + η

zu extrahieren, wobei das Rauschen eine unbekannte Größe ist. Wie wir bereits gese-

hen haben, gibt es verschiedene Zugänge für die Lösung des Entrausch-Problems, zum
Beispiel Anwendung eines gleitenden Mittels, morphologische Öffnung, Einsatz eines
Medianfilters oder Lösen der Perona-Malik-Gleichung.
Da wir das Rauschen

η

η nicht kennen, müssen wir entsprechende Modellannahmen

für u †

treffen und hoffen, dass sie für die gegebenen Daten u 0 auch tatsächlich
erfüllt sind. Dazu kann man einige grundsätzliche Überlegungen anstellen:
•

sowie η

u † ist eine Funktion, deren Wert in jedem Punkt völlig
unabhängig von deren Umgebung ist. Es weist keine Struktur bezüglich es Ortes
auf.
• Die Funktion u † stellt ein Bild dar, welches eine räumliche Struktur besitzt. Man
kann daher Aussagen über das Verhalten das Bildes in der Nachbarschaft eines
Punktes treffen.
Ein wenig abstrakter gesagt sollen Bildinformation und Rauschen möglichst gut unter-
scheidbare Charakteristiken aufweisen, in diesem Fall sind die Charakteristika durch
das lokale Verhalten gegeben. Nun ergibt sich aus diesen Forderungen noch kein ma-
thematisches Modell und erst recht kein Verfahren zum Entrauschen. Die Idee der Varia-
tionsrechnung in der mathematischen Bildverarbeitung ist daher, die obigen Modellan-
nahmen durch quantitative Größen auszudrücken. Üblicherweise geben diese Größen
an, wie „gut“ eine Funktion in dieses Modell „passt“, sie sind klein bei guter Überein-
stimmung und groß bei schlechter.
Obige Punkte lassen sich dann beispielsweise folgendermaßen umformulieren:

u 0 η = −

Das Rauschen

• Es gibt eine reellwertige Funktion die „Größe“

des Rauschens angibt. Sie sollte nur punktweise Informationen berücksichtigen.
„Großes“ Rauschen oder das Vorhandensein von Struktur sollte genau dann zu
großen Werten führen.

Φ , die für jedes Rauschen η

• Es existiert eine reellwertige Funktion , die für jedes Bild u bestimmt, wie sehr

es einem „natürlichen Bild“ entspricht. Sie sollte dies unter Berücksichtigung von

Ψ