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Es sei
u
:
R
2
→
Aufgabe
5.9 (Krümmung von Level-Sets)
.
R
zweimal differenzierbar und es seien
(
η
,
ξ
)
die lokalen Koordinaten.
1.
Zeigen Sie:
div
∇
=
∂
ξξ
u
|∇
u
.
|∇
u
|
u
|
R
2
eine zweimal differenzierbare Kurve. Die
Krümmung
von
c
lässt sich
in der Koordinatenfunktion
c
2.
Es sei
c
:
[
0, 1
]
→
T
(
)=(
(
)
(
))
s
x
s
,
y
s
wie folgt angeben:
x
y
−
x
y
κ
=
2
3/2
.
(
x
)
2
+(
y
)
u
Es sei
u
:
R
2
→
{
(
)
(
)=
}
R
so, dass sich das Null-Level-Set
x
,
y
x
,
y
0
durch eine zweimal
differenzierbare Kurve
c
parametrisieren lässt.
Zeigen Sie, dass im Null-Level-Set für
∇
=
u
0 gilt
div
∇
u
|∇
.
κ
=
u
|
Aufgabe
5.10 (Infinitesimaler Generator zur Perona-Malik Gleichung)
.
Zeigen Sie, dass die Perona-
Malik Gleichung den infinitesimalen Generator
g
(
|
p
|
)
p
T
Xp
(
)=
+
(
|
|
)
F
p
,
X
g
p
trace
X
.
|
|
p
hat (vgl. Lemma 5.26).
Aufgabe
5.11 (Maximumprinzip für die eindimensionale Perona-Malik Gleichung)
.
Wir betrach-
ten die Cauchy-Aufgabe
=
∂
x
g
(
∂
x
u
2
∂
x
u
in
∂
t
u
)
[
0,
∞
[
×
R
(5.28)
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für
x
∈
R
.
Es sei
g
differenzierbar,
u
eine Lösung dieser Cauchy-Aufgabe und
(
t
0
,
x
0
)
ein Punkt, so dass die
Abbildung
x
→
u
(
t
0
,
x
)
ein lokales Maximum in
x
0
hat.
1.
Unter welchen Bedingungen an
g
ist die Abbildung
t
→
u
(
t
,
x
0
)
im Punkt
t
0
fallend?
2.
Leiten Sie aus dem Vorherigen eine Bedingung ab unter der für Lösungen von (5.28) und
alle
t
≥
∈
0,
x
R
gilt:
inf
x
u
0
(
x
)
≤
u
(
t
,
x
)
≤
sup
x
u
0
(
x
)
.
∈
R
∈
R
(Man sagt auch: Die Lösung erfüllt ein
Maximumprinzip
.)
Aufgabe
5.12 (Energieabnahme und Grauwerterhaltung für die modifizierte Perona-Malik-Glei-
chung)
.
R
d
,
u
0
∈
L
∞
(Ω)
Ω
⊂
[
∞[
→
[
∞[
Es sei
,
g
:
0,
0,
unendlich oft differenzierbar und
u
:
R
eine Lösung der modifizierten Perona-Malik-Gleichung, d.h. eine Lösung der
Rand-Anfangswertaufgabe
[
0,
T
]
×
Ω
→
∂
t
u
=
div
(
g
(
|∇
u
σ
|
)
∇
u
)
in
[
0,
T
]
×
Ω
=
[
]
× ∂
Ω
∂
ν
u
0
auf
0,
T
(5.29)
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für
x
∈
Ω
.