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Es sei u : R 2
Aufgabe 5.9 (Krümmung von Level-Sets) .
R zweimal differenzierbar und es seien
( η
,
ξ )
die lokalen Koordinaten.
1.
Zeigen Sie:
div
= ξξ u
|∇
u
.
|∇
u
|
u
|
R 2 eine zweimal differenzierbare Kurve. Die Krümmung von c lässt sich
in der Koordinatenfunktion c
2.
Es sei c :
[
0, 1
]
T
(
)=(
(
)
(
))
s
x
s
, y
s
wie folgt angeben:
x y
x y
κ =
2 3/2 .
(
x )
2
+(
y )
u
Es sei u : R 2
{ (
)
(
)=
}
R so, dass sich das Null-Level-Set
x , y
x , y
0
durch eine zweimal
differenzierbare Kurve c parametrisieren lässt.
Zeigen Sie, dass im Null-Level-Set für
=
u
0 gilt
div u
|∇
.
κ =
u
|
Aufgabe 5.10 (Infinitesimaler Generator zur Perona-Malik Gleichung) .
Zeigen Sie, dass die Perona-
Malik Gleichung den infinitesimalen Generator
g ( |
p
| )
p T Xp
(
)=
+
( |
| )
F
p , X
g
p
trace X .
|
|
p
hat (vgl. Lemma 5.26).
Aufgabe 5.11 (Maximumprinzip für die eindimensionale Perona-Malik Gleichung) .
Wir betrach-
ten die Cauchy-Aufgabe
= x g ( x u
2 x u in
t u
)
[
0,
[ ×
R
(5.28)
u
(
0, x
)=
u 0 (
x
)
für x
R .
Es sei g differenzierbar, u eine Lösung dieser Cauchy-Aufgabe und
(
t 0 , x 0
)
ein Punkt, so dass die
Abbildung x
u
(
t 0 , x
)
ein lokales Maximum in x 0 hat.
1.
Unter welchen Bedingungen an g ist die Abbildung t
u
(
t , x 0 )
im Punkt t 0 fallend?
2.
Leiten Sie aus dem Vorherigen eine Bedingung ab unter der für Lösungen von (5.28) und
alle t
0, x
R gilt:
inf
x
u 0 (
x
)
u
(
t , x
)
sup
x
u 0 (
x
)
.
R
R
(Man sagt auch: Die Lösung erfüllt ein Maximumprinzip .)
Aufgabe 5.12 (Energieabnahme und Grauwerterhaltung für die modifizierte Perona-Malik-Glei-
chung) .
R d , u 0
L (Ω)
Ω
[
∞[ [
∞[
Es sei
, g :
0,
0,
unendlich oft differenzierbar und
u :
R eine Lösung der modifizierten Perona-Malik-Gleichung, d.h. eine Lösung der
Rand-Anfangswertaufgabe
[
0, T
] × Ω
t u
=
div
(
g
( |∇
u
σ | )
u
)
in
[
0, T
] × Ω
=
[
] × ∂ Ω
ν u
0
auf
0, T
(5.29)
u
(
0, x
)=
u 0 (
x
)
für x
Ω
.
 
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