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R
d
nichtleer.
⊂
Aufgabe
5.4 (Rekursivität der skalierten Dilatation)
.
Es sei
B
1.
Zeigen Sie
B
konvex
⇐⇒
für alle
t
,
s
≥
0 gilt
tB
+
sB
=(
t
+
s
)
B
.
2.
Zeigen Sie, dass die Multiskalen-Dilatation aus Beispiel 5.4 das Axiom [REC] erfüllt, falls
B
konvex ist. Unter welchen Voraussetzungen gilt auch die Umkehrung?
Aufgabe
5.5 (Eigenschaften des infinitesimalen Generators)
.
Es gelten die Voraussetzungen von
Satz 5.11. Zeigen Sie:
1.
Gilt zusätzlich das Axiom [TRANS], so folgt
2
u
A
[
u
](
x
)=
F
(
u
(
x
)
,
∇
u
(
x
)
,
∇
(
x
))
.
2.
Gilt zusätzlich das Axiom [GLSI], so folgt
2
u
A
[
u
](
x
)=
F
(
x
,
∇
u
(
x
)
,
∇
(
x
))
.
(
T
)
Aufgabe
5.6 (Infinitesimaler Generator von Koordinatentransformationen)
.
Es sei
die Multi-
t
skalen-Koordinatentransformation aus Beispiel 5.2, d.h.
(
T
t
u
)(
x
)=
u
(
j
(
t
,
x
))
(
·
)
wobei
j
,
x
die Lösung des Anfangswertproblems
∂
j
t
(
t
,
x
)=
v
(
j
(
t
,
x
))
,
j
(
0,
x
)=
x
.
∂
ist. Zeigen Sie, dass der infinitesimalen Generator von
(
T
)
gegeben ist durch
t
A
[
u
](
x
)=
v
(
x
)
·∇
u
(
x
)
.
Die Existenz des Generators können Sie voraussetzen.
Aufgabe
5.7 (Gradient und Hesse-Matrix unter Grauwerttransformationen)
.
Es seien
h
:
R
→
R
und
u
:
R
d
→
R
zweimal differenzierbar. Zeigen Sie
h
∇
∇
(
h
◦
u
)=
u
2
h
∇
2
u
h
∇
∇
(
h
◦
u
)=
+
u
⊗∇
u
S
d
×
d
d
−
1
1
x
d
,
i
.
Aufgabe
5.8 (Hilfsrechnung zu Satz 5.23)
.
Es sei
X
∈
mit
x
d
,
d
=
0 und
M
= ∑
i
=
ε >
Weiterhin sei
0 und
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
1
ε
.
.
.
.
.
.
Q
=
,
I
ε
=
.
1
ε
M
ε
0
Zeigen Sie
+
QXQ
X
I
ε
X
QXQ
+
I
.
ε
