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realisiert die Gleichung einen Transport entlang der Kanten des Bildes. Dies entspricht
dem, was man eventuell auch von Hand machen würde, um einen fehlenden Bildbe-
reich wieder aufzufüllen: Die Kanten in den fehlenden Bereich verlängern und die Be-
reiche mit den richtigen Farben auffüllen. Bornemann und März [15] schlagen einerseits
vor, die Transportrichtung durch
∇
⊥
(Δ
σ
)
zu ersetzen und er-
reichen noch bessere Ergebnisse, in dem sie die Transportrichtung als Eigenvektor zum
kleineren Eigenwert des Strukturtensors
J
u
mit vorgeglättetem
u
σ
bestimmen.
Methoden, die auf Diffusion basieren, lassen sich nicht nur auf Bilder anwenden; es
lassen sich damit auch Oberflächen „entrauschen“. Eine Oberfläche ist dabei eine Man-
nigfaltigkeit und der Laplace-Operator wird durch den sogenannten Laplace-Beltrami-
Operator ersetzt. Auch hier lässt sich die Idee der anisotropen Diffusion umsetzen, siehe
zum Beispiel [43].
Die Perona-Malik Gleichung und ihr analytisches Verhalten ist weiterhin Gegen-
stand der Forschung. Amann [5] beschreibt eine Regularisierung der Perona-Malik Glei-
chung die im Gegensatz zum modifizierten Modell (5.18) nicht auf räumliche Glättung
sondern auf zeitlicher Mittelung beruht. Dies lässt sich als kontinuierliches Analogon
des semi-impliziten Verfahrens (5.25) deuten. Chen und Zhang [42] liefern eine neue In-
terpretation der Nicht-Existenz von Lösungen der Perona-Malik Gleichung im Rahmen
von Young-Maßen. Esedoglu [58] macht eine feinere Untersuchung der Stabilität der
diskretisierten Perona-Malik und arbeitet Maximumprinzipien für bestimmte Anfangs-
werte heraus.
ρ
(
∇
u
σ
)
5.6 Aufgaben
Aufgabe
5.1 (Skalenraumeigenschaften von Koordinatentransformationen)
.
Zeigen Sie, dass die
Koordinatentransformation aus Beispiel 5.2 die Axiome [REG], [COMP], [GLSI], [GSI] und [SCA-
LE] erfüllt. Zeigen Sie weiterhin, dass [TRANS] und [ISO] im Allgemeinen nicht erfüllt sind.
Aufgabe
5.2 (Grauwert-Skalierungsinvarianz von Faltungsoperatoren?)
.
Zeigen Sie, dass die
Multiskalenfaltung aus Beispiel 5.3 nicht das Axiom [GSI] der Grauwert-Skalierungsinvarianz
erfüllt.
Aufgabe
5.3 (Skalenraumeigenschaften des gleitenden Mittels)
.
Im Rahmen von Beispiel 5.3 sei
)=
Γ
(
1
+
d
/2
)
ϕ
(
x
χ
B
1
(
0
)
(
x
)
.
d
/2
π
ϕ
x
τ
(
. Wir betrachten also die Skalenraumanalyse
)
−
d
(vgl. Beispiel 2.38) und
ϕ
t
(
x
)=
τ
(
t
)
t
u
∗ ϕ
t
>
falls
t
0
T
t
u
=
=
u
falls
t
0.
Welche Skalenraumaxiome erfüllt sie, welche erfüllt sie nicht? Können Sie die Existenz eines infi-
nitesimalen Generators zeigen?
