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Benutzen wir für die
x
2
-Richtung analoge Approximationen, so erhalten wir
h
2
A
i
,
j
−
1
(
∇
)
≈
+
+
+
div
A
u
u
i
,
j−
1
A
i
,
j
+
u
i
,
j
+1
A
i
−
2
,
j
u
i−
1,
j
A
i
+
2
,
j
u
i
+1,
j
1
2
1
2
1
1
(5.22)
u
i
,
j
.
−
(
2
+
2
+
2
,
j
+
2
,
j
)
A
i
,
j−
A
i
,
j
+
A
i−
A
i
+
1
1
1
1
Dies lässt sich übersichtlich in Matrix-Schreibweise übersetzen. Dazu machen wir aus
der Matrix
u
R
NM
, indem wir die Matrix zeilenweise in den
Vektor schreiben. Wir definieren die folgende Bijektion
R
N×M
einen Vektor
U
∈
∈
Θ
:
{
1, . . . ,
N
}×
,
{
1, . . . ,
M
}→
{
}
1, . . . ,
NM
der Indexmengen durch
Θ
−
1
I
M
Θ(
)=(
−
)
+
(
)=(
+
)
i
,
j
i
1
M
j
,
I
1,
I
mod
M
.
Damit ist
U
Θ(
)
=
u
i
,
j
,
bzw.
U
I
=
u
.
Θ
−
1
i
,
j
(
I
)
.
.
.
···
.
.
.
Setzen wir die rechte Seite in (5.22) als
v
i
,
j
und definieren
V
)
=
v
i
,
j
und
U
)
=
Θ(
i
,
j
Θ(
i
,
j
R
NM×NM
definiert durch
=
∈
u
i
,
j
so gilt
V
A
U
mit der Matrix
A
⎧
⎨
⎩
−
(
2
+
2
+
2
,
j
+
2
,
j
)
=
=
A
i
,
j
−
A
i
,
j
+
A
i
−
A
i
+
falls
i
k
,
j
l
1
1
1
1
±
=
=
A
i
±
falls
i
1
k
,
j
l
1
2
,
j
A
)
=
(5.23)
Θ
(
)
Θ
(
i
,
j
,
k
,
l
A
i
,
j±
falls
i
=
k
,
j
±
1
=
l
1
2
0
sonst.
Analog zu Beispiel 5.49 können wir die Randwerte
∂
ν
=
0 berücksichtigen, in dem
wir Hilfspunkte einführen und wiederum wird die Randbedingung durch Spiegeln der
Werte über den Rand realisiert. Wir erhalten als semidiskretisierte Gleichung das Sys-
tem von gewöhnlichen Differentialgleichungen
u
1
h
2
A
U
.
Dies ist ein System von linearen Differentialgleichungen. Hierbei haben wir noch nicht
berücksichtigt, dass der Diffusionskoeffizient
A
von
u
(bzw. vom Gradienten von
u
)
∂
t
U
=
