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•
Fasse die Gleichung als Gleichung in einem geeigneten Raum
X
auf, d.h. suche
u
:
[
0,
T
]
→
X
, so dass
∂
t
u
=
L
(
u
)
.
L
•
Diskretisiere den Operator
: Wähle eine räumliche Diskretisierung des Gebietes
der
x
-Variable und damit eine Approximation des Raumes
X
. Definiere geeignet
einen Operator
L
welcher auf dem diskreten Raum operiert und
approximiert.
Aus der partiellen Differentialgleichung wird dadurch ein System von gewöhnli-
chen Differentialgleichungen
L
=
(
)
∂
t
u
L
u
.
•
Löse das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer aus der Nu-
merik bekannten Methode (siehe zum Beispiel [135]).
In der Bildverarbeitung ist man in der besonderen Situation, dass das Gebiet der
x
-
Variable typischerweise ein Rechteck ist. Darüber hinaus sind die Werte des Anfangsbil-
des
u
0
typischerweise auf einem äquidistanten Gitter gegeben und die Lösung ist eben-
so auf einem solchen Gitter gesucht. Die Diskretisierung des Gebietes ist daher in na-
türlicher Weise vorgegeben. Aus diesem Grund ist es in der Bildverarbeitung sehr ver-
breitet, die Differentialoperatoren durch Differenzenquotienten zu ersetzen. Man nennt
diese Methode auch die Methode der finiten Differenzen.
Die Gleichungen aus den Abschnitten 5.2 und 5.3 lassen sich grob in zwei Typen
aufteilen: Gleichungen vom Diffusionstyp (Wärmeleitungsgleichung, nichtlineare Dif-
fusion) und Gleichungen vom Transporttyp (Erosion, Dilatation, mittlerer Krümmungs-
fluss). Diese Typen erfordern verschiedene Behandlungen.
5.4.1 Diffusionsgleichungen
Wir betrachten in diesem Abschnitt Gleichungen vom Diffusionstyp
=
(
∇
)
∂
t
u
div
A
u
,
das heißt den Differentialoperator
L
(
u
)=
div
(
A
∇
u
)
. Zuerst betrachten wir den Fall
Ω
→
von isotroper Diffusion, das heißt,
A
:
R
ist eine skalare Funktion. Wir begin-
nen mit einer Approximation an den Differentialoperator div
(
A
∇
u
)=
∂
x
1
(
A
∂
x
1
u
)+
∂
x
2
(
)
A
∂
x
2
u
durch finite Differenzen. Offensichtlich reicht es hier, sich zu überlegen, wie
der Term
∂
(
A
∂
x
1
u
)
diskretisiert werden kann. Im Punkt
(
i
,
j
)
gehen wir wie folgt vor:
x
1
h
2
,
j
1
∂
x
1
(
A
∂
x
1
u
)
≈
(
A
∂
x
1
u
)
i
+
2
,
j
−
(
A
∂
x
1
u
)
i−
1
1
mit
u
i
+
1,
j
,
u
i
,
j
.
−
u
i
,
j
−
u
i
−
1,
j
h
(
A
∂
x
1
u
)
i
+
2
,
j
=
A
i
+
(
A
∂
x
1
u
)
i−
2
,
j
=
A
i−
1
1
2
,
j
1
1
2
,
j
h
