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Die Fallunterscheidung in den Randpixeln können wir durch eine andere Notation um-
gehen: Wir stellen die Gleichung (5.21) nach
u
n
+1
i
,
j
um und erhalten
u
i
,
j
+
h
2
(
u
n
+1
i
,
j
u
i
+1,
j
+
u
i−
1,
j
+
u
i
,
j
+1
+
u
i
,
j−
1
−
4
u
i
,
j
)
=
.
Dies lässt sich durch eine diskrete Faltung wie in Abschnitt 3.3.3 darstellen:
⎡
⎤
010
1
+
h
2
u
n
u
n
+1
u
n
⎣
⎦
.
=
∗
41
010
−
Das Elegante an dieser Formulierung: Die Randbedingung lässt sich einfach durch ei-
ne symmetrische Randfortsetzung realisieren. Zusammen mit dem Anfangswert
u
i
,
j
=
u
0
können wir damit eine approximative Lösung
u
i
,
j
iterativ für jedes
((
−
)
(
−
)
)
i
1
h
,
j
1
h
n
berechnen.
Das entstandene Schema nennen wir
explizit
da die Werte von
u
n
+
1
direkt aus den
Werten
u
n
berechnet werden können. Dies liegt insbesondere daran, dass wir die Zeita-
bleitung
∂
t
u
durch einen Vorwärtsdifferenzenquotienten berechnet haben. Nehmen wir
einen Rückwärtsdifferenzenquotienten, erhalten wir
u
n−
1
i
,
j
u
i
,
j
−
u
i
+1,
j
+
u
i−
1,
j
+
u
i
,
j
+1
+
u
i
,
j−
1
−
4
u
i
,
j
=
h
2
τ
beziehungsweise
⎡
⎤
010
1
−
h
2
u
n
u
n
⎣
⎦
)=
u
n−
1
(
∗
41
010
−
(wieder mit symmetrischer Randfortsetzung um die Randwerte zu berücksichtigen).
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für
u
n
und wir nennen das Schema
implizit
.
Das einleitende Beispiel verdeutlicht ein einfaches Vorgehen zur Konstruktion von
numerischen Verfahren für Differentialgleichungen:
•
Approximiere die Zeitableitung durch Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquo-
tienten.
•
Approximiere die räumlichen Ableitungen durch geeignete Differenzenquotien-
ten und benutze symmetrische Randfortsetzung um die Randwerte zu berück-
sichtigen.
Löse die entstandene Gleichung nach
u
n
+
1
•
auf.
Etwas abstrakter können wir die Lösung von partiellen Differentialgleichungen der
Form
∂
t
u
(
)=
L
(
)(
)
t
,
x
u
t
,
x
mit einem Differentialoperator
L
welcher nur auf die räumliche Variable
x
wirkt durch
Semidiskretisierung behandeln:
