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Die Funktion
g
wird hier so eingesetzt, dass der Eigenwert
λ
2
für geringe Kohärenz
klein (in der Nähe von
) ist und für große Kohärenz nahe eins ist. Auf Abbildung 5.19
lässt sich erkennen, dass diese Gleichung tatsächlich kohärente Strukturen verstärkt.
Auch hier verweisen wir für die Lösungstheorie auf [141].
α
Anwendungsbeispiel 5.48
(Visualisierung von Vektorfeldern)
In vielen Anwendungen treten Vektorfelder auf, zum Beispiel um Strömungen zu be-
schreiben. Beispiele sind Luftströmungen im Wetterbericht oder auch Flüssigkeitsströ-
mungen um ein Objekt herum. Um diese Vektorfelder visuell zu untersuchen, müssen
sie dargestellt werden. Dafür gibt es verschiedene Methoden: Einerseits kann ein Vek-
torfeld
v
:
R
d
Ω
→
∈
Ω
visualisiert werden, indem auf einem Gitter von Punkten
x
die Vektoren
v
als Pfeile dargestellt werden. Eine andere Möglichkeit ist das Zeich-
nen von sogenannten Integralkurven, d.h. von Kurven
(
x
)
[
]
→
Ω
γ
:
0,
T
in denen das
γ
(
Vektorfeld tangential liegt, also
. Die erste Variante kann leicht zu un-
übersichtlichen Darstellungen führen, die Wahl des Gitters spielt eine große Rolle. Bei
der zweiten Variante muss ebenfalls eine Menge von Integralkurven ausgewählt wer-
den. Hier kann es dazu kommen, dass sich die Kurven in einigen Gebieten ballen, und
sich in anderen Gebieten sehr wenig Kurven befinden.
Eine andere Methode zur Visualisierung eines Vektorfeldes, aufbauend auf aniso-
troper Diffusion, wurde in [49] vorgeschlagen. Die Idee ist es, einen Diffusionstensor zu
gestalten, der Diffusion entlang des Vektorfeldes erlaubt, orthogonal dazu jedoch unter-
drückt. Diese Diffusion wird dann auf ein zufälliges Anfangsbild angewendet. Genauer
sieht die Methode wie folgt aus: Zu einem stetigen Vektorfeld
v
:
t
)=
v
(
γ
(
t
))
R
d
welches nir-
Ω
→
gends in
Ω
Null ist, existiert eine stetige Abbildung
B
(
v
)
die jedem Punkt
x
∈
Ω
eine
Drehmatrix
B
(
v
)(
x
)
zuordnet, die den Vektor
v
(
x
)
in Richtung des ersten Einheitsvek-
tors
e
1
dreht:
B
(
v
)
v
=
|
v
|
e
1
. Mit Hilfe einer monoton wachsenden und positiven Abbil-
[
∞[
→
[
∞[
[
∞[
→
[
∞[
dung
α
:
0,
0,
und einer monoton fallenden Abbildung
G
:
0,
0,
mit
G
(
r
)
→
0 für
r
→
∞
definieren wir die Matrix
T
α
(
|
B
|
)
v
0
A
(
v
,
r
)=
B
(
v
)
(
v
)
.
0
G
(
r
)
id
d
−
1
Zu einem Anfangsbild
u
0
:
Ω
→
[
0, 1
]
und
σ
>
0 wird also folgende Differentialglei-
chung betrachtet:
∂
t
u
=
div
(
A
(
v
,
|∇
u
σ
|
)
∇
u
)
.
Da bei diese Gleichung, wie auch die anderen in diesem Buch betrachteten Diffusions-
gleichungen, im Grenzwert
t
→
∞
zu einem konstanten Bild zu führen, wird in [49]
vorgeschlagen, einen Quellterm mit dazu zu nehmen. Konkret sei
f
:
[
0, 1
]
→
R
stetig,
(
)=
(
)=
<
]
[
>
]
[
so dass
f
0
f
1
0,
f
0 auf
0, 0.5
und
f
0 auf
0.5, 1
. Es wird dann die
Differentialgleichung
∂
t
u
=
div
(
A
(
v
,
|∇
u
σ
|
)
∇
u
)+
f
(
u
)
.
(5.19)
(
)
betrachtet. Der neue Term
f
soll die Grauwerte „in Richtung 0 bzw. 1 drücken“ und
dadurch den Kontrast erhöhen. Dies lässt sich zum Beispiel durch folgende Funktion
erreichen:
u
