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Die Faltung ist in diesem Falle komponentenweise, d.h. für jede Komponente der
Matrix separat, zu verstehen. Da der geglättete Gradient
∇
u
quadratisch in den Struk-
σ
(
∇
σ
)
turtensor
J
0
u
eingeht, lassen sich die verschiedenen Glättungen mit
G
und
G
σ
ρ
nicht ineinander umrechnen. So hat zum Beispiel der linke obere Eintrag von
J
ρ
(
∇
u
σ
)
2
. Auf Grund des Quadrates lassen sich die beiden Faltungen
nicht zusammenfassen. Die Faltung mit
G
ρ
∗
(
σ
∗ ∂
x
u
)
die Form
G
G
ist also nicht einfach eine weitere Mittelung
ρ
der gleichen Art wie die Faltung mit
G
.
σ
Lemma 5.44
Der Strukturtensor J
ρ
(
∇
σ
)(
)
u
x
ist für jedes x positiv semidefinit.
Beweis.
Die Matrix
J
0
(
∇
u
σ
)(
x
)
ist offensichtlich für jedes
x
positiv semidefinit (die Ei-
2
R
2
genwerte sind
|∇
u
σ
(
x
)
|
≥
0 und Null). Insbesondere gilt für jeden Vektor
v
∈
und
jedes
x
die Ungleichung
v
T
J
0
(
∇
u
σ
)(
x
)
v
≥
0. Es gilt also auch
v
T
v
T
J
ρ
(
∇
u
σ
)(
x
)
v
=
R
2
G
σ
(
x
−
y
)
J
0
(
∇
u
σ
)(
y
)
d
yv
v
T
J
0
=
R
2
G
)
≥
0
σ
(
x
−
y
(
∇
u
σ
)(
y
)
v
d
y
≥
0
≥
0.
Insbesondere hat
J
ρ
(
∇
u
σ
)
wieder orthonormale Eigenvektoren
v
1
,
v
2
und zugehöri-
ge nicht-negative Eigenwerte
μ
1
≥
μ
2
≥
0. Wir interpretieren diese Größen wie folgt:
•
Die Eigenwerte
μ
1
und
μ
2
sind der „gemittelte Kontrast“ in die Richtung
v
1
bezie-
hungsweise
v
2
.
• Der Vektor
v
1
zeigt in die Richtung der „größten gemittelten Grauwertvariation“.
• Der Vektor
v
2
zeigt in die „gemittelte lokale Richtung der Kanten“. Anders ausge-
drückt:
v
2
ist die „gemittelte Kohärenzrichtung“.
Ausgehend von dieser Interpretation können wir mit Hilfe der Eigenwerte
μ
1
und
μ
2
verschiedene Arten von Bildregionen erkennen:
•
μ
1
,
μ
2
klein: Es gibt keine Richtung mit signifikanten Grauwertvariation. Hier liegt
also eine
flache Region
vor.
•
μ
1
groß,
μ
2
klein: In eine Richtung gibt es eine große Grauwertvariation, orthogo-
nal dazu nicht. Die beschreibt eine
Kante
.
•
μ
2
beide groß: Gibt es zwei orthogonale Richtungen mit signifikanten Grau-
wertvariationen, so handelt es sich um eine
Ecke
.
Siehe dazu Abbildung 5.18. Hier sehen wir, dass der Strukturtensor
J
μ
1
,
ρ
(
∇
σ
)
u
tatsächlich
mehr Information enthalten kann als
J
0
: Beim letzteren ist ein Eigenwert immer
Null, so dass hiermit keine Ecken erkannt werden können. Die Matrix
J
(
∇
u
σ
)
ρ
(
∇
σ
)
u
kann
dies, da die Richtungsinformationen einer Umgebung mit einbezogen sind.
Bevor wir spezielle Methoden für anisotrope Diffusion entwickeln, zitieren wir
einen Satz der die Existenz von Lösungen für anisotrope Diffusionsgleichungen, de-
ren Diffusionstensor auf dem Strukturtensor basiert, garantiert. Der Satz stammt von
Weickert [141] und ist eine direkte Verallgemeinerung von Satz 5.38.
