Image Processing Reference
In-Depth Information
5.3.2 Anisotrope Diffusion
Die Perona-Malik-Gleichung zeigte hervorragende Eigenschaften beim Entrauschen bei
gleichzeitiger Erhaltung von Kanten. Ein Nachteil war, dass die Glättung entlang der
Kanten nicht sehr hoch war und so Rauschen entlang von Kanten erhalten blieb. Die-
sen Nachteil kann man mit einem anisotropen Modell beheben. Die Idee besteht darin,
einen Diffusionstensor zu gestalten, der senkrecht zu den Kanten eine Diffusion nach
Perona-Malik erzeugt, entlang der Kanten aber eine lineare Diffusion. Wir beschrän-
ken uns auf den zweidimensionalen Fall, da hier die Kanten Kurven sind und es hier
genau eine Richtung entlang der Kanten gibt. Die Entwicklung von Methoden die auf
anisotroper Diffusion basieren geht auf [141] zurück.
Der Diffusionstensor soll möglichst viel lokale Bildinformation kodieren. Wir folgen
dem modifizierten Modell (5.18) und nehmen
als Detektor für Kanten. Zur Vorbe-
reitung auf das Weitere definieren wir den Strukturtensor:
∇
u
σ
Definition 5.41
(Strukturtensor)
Der
Strukturtensor
zu
u
:
R
2
→
R
und Rausch-Skala
σ
>
0 ist die durch
u
T
(
∇
σ
)=
∇
σ
∇
J
0
u
u
σ
R
2
×
2
.
:
R
2
definierte matrixwertige Funktion
J
0
(
∇
u
σ
)
→
Offensichtlich enthält der Strukturtensor nicht mehr Information als der geglättete
Gradient
∇
, nämlich die Informationen über die lokale Richtung der Bildstruktur
und die Geschwindigkeit der Grauwertänderung. Wir finden diese Informationen im
Strukturtensor wie folgt:
u
σ
Lemma 5.42
Der Strukturtensor hat orthonormale Eigenvektoren v
1
∇
u
und v
2
⊥∇
u
. Die entsprechen-
σ
σ
2
und Null.
|∇
σ
|
den Eigenwerte sind
u
u
T
2
=
∇
(
∇
σ
)
=
∇
σ
∇
σ
(
∇
σ
)=
∇
|∇
σ
|
=
Beweis.
Ist
v
1
c
u
, so gilt
J
0
u
v
1
u
c
u
u
c
u
σ
σ
2
v
1
. Ebenso einfach sieht man
J
0
|∇
u
σ
|
(
∇
u
σ
)
v
2
=
0.
Die Richtungseigenschaften sind also in den Eigenvektoren des Strukturtensors ko-
diert. Die Eigenwerte entsprechen, grob gesprochen, dem Kontrast in Richtung der ent-
sprechenden Eigenvektoren. Durch eine weitere räumliche Mittelung lässt sich noch
mehr Information im Strukturtensor kodieren:
Definition 5.43
Der
Strukturtensor
zu
u
:
R
2
→
σ >
ρ >
R
, Rausch-Skala
0 und Mittelungsskala
0 ist die
durch
u
T
ρ
(
∇
σ
)=
ρ
∗
(
∇
σ
∇
σ
)
J
u
G
u
:
R
2
R
2
×
2
.
ρ
(
∇
σ
)
→
definierte matrixwertige Funktion
J
u
