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Satz 5.38
Es sei u
0
∈
L
∞
(
Ω
)
,
σ
>
0
,T
>
0
und g
:
[
0,
∞
[
→
[
0,
∞
[
unendlich oft differenzierbar. Dann
hat die Gleichung
∂
t
u
=
div
(
g
(
|∇
u
σ
|
)
∇
u
)
in
[
0,
∞
[
×
Ω
=
[
∞[
× ∂
Ω
∂
ν
u
0
auf
0,
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für x
∈
Ω
L
2
[
]
→
(Ω)
[
]
eine eindeutige Lösung u
:
0,
T
. Weiterhin ist u als Abbildung von
0,
T
nach
L
2
H
1
(
Ω
)
stetig und für fast alle t
∈
[
0,
T
]
ist u
(
t
)
∈
(
Ω
)
.
Der Beweis basiert auf dem Schauderschen Fixpunktsatz [145] und baut auf tieflie-
gende Ergebnisse der Theorie von linearen partiellen Differentialgleichungen auf. Die
(schwachen) Lösungen der modifizierten Perona-Malik-Gleichung haben ähnliche Ei-
genschaften wie die (im Allgemeinen nicht existierenden) Lösungen der ursprünglichen
Perona-Malik-Gleichung. Insbesondere gilt Satz 5.29 analog, wie Sie in Aufgabe 5.12
zeigen sollten.
Beispiel 5.39
(Entrauschen mit der modifizierten Perona-Malik-Gleichung)
Wir betrachten die modifizierte Perona-Malik-Gleichung wie in Satz 5.38 und ihr
Potential zum Entrauschen von Bildern. Wie auch bei der Standard-Perona-Malik-
Gleichung (5.15) wählen wir
g
als fallende Funktion wie in (5.14). Auch hier spielt
0
die Rolle eines Kantenschwellwertes. Allerdings ist zu berücksichtigen, dass nun das
Argument von
g
der Betrag des geglätteten Gradienten ist. Dieser ist, abhängig vom
Glättungsparameter
λ
>
σ
um einiges kleiner als der Betrag des Gradienten selbst. Der Pa-
rameter
λ
muss also in Abhängigkeit von
σ
angepasst werden. Ein Vorgehensweise hier
sollte also sein: Der Parameter
σ
wird an das Rauschniveau im Bild
u
0
angepasst, so dass
u
0
∗
∗
G
hinreichend rauschfrei ist. Dann wird der Betrag des Gradienten von
u
0
G
in-
σ
σ
spiziert und
λ
so gewählt, dass die dominanten Kanten einen Gradienten oberhalb von
λ
haben.
Abbildung 5.15 illustriert die Entrauschqualitäten der modifizierten Perona-Malik-
Gleichung. Es wurde die Funktion
g
2
aus Gleichung (5.14) und eine Endzeit
T
=
50
gewählt. Für einen sehr kleinen Wert von
σ
(0.01) erhält man keine besonders guten
λ
=
Ergebnisse: Für
0.1 sind einige Kanten schon sehr verschwommen, obwohl das
Rauschen nicht akkurat entfernt wurde. Macht man den Wert für
da-
bei anzupassen, so tritt der erwartete Effekt ein, dass die Beträge der Gradienten an den
Kanten durch die Vorglättung unter den Kantenschwellwert fallen und somit allesamt
geglättet werden. Bei sinnvoller Anpassung von
σ
größer, ohne
λ
λ
an
σ
sind gute Ergebnisse zu erzie-
σ
=
σ
=
len wie die beiden Beispiele mit
σ
tritt allerdings der prognostizierte Effekt, dass die Perona-Malik-Gleichung Rauschen
an steilen Kanten nicht gut entfernen kann, nun deutlich auf.
1 und
2 zeigen. Für entsprechend großes
Wir ziehen folgendes Fazit für die modifizierte Perona-Malik-Gleichung:
•
Die Wahl von
u
∗
als Kantendetektor ist eine sinnvolle Wahl, die einerseits zu
einem robusteren Kantendetektor führt und andererseits eine stringente Lösungs-
theorie erlaubt.
G
σ
