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formulieren. Mit folgender Umformulierung lässt sich auch noch die zeitliche Ableitung
von
u
einsparen: Wir definieren eine Bilinearform
a
:
H
1
H
1
(
Ω
)
×
(
Ω
)
→
R
durch
(
)=
Ω
(
∇
)
·
a
u
,
v
A
u
v
d
x
.
Wir definieren nun den Begriff der schwachen Lösung einer Rand-Anfangswertaufgabe:
Definition 5.35
(Schwache Lösungen)
Es seien
u
0
L
2
L
∞
(
Ω
,
R
d×d
L
2
0,
T
,
H
1
∈
(
Ω
)
und
A
∈
)
. Eine Funktion
u
∈
(
(
Ω
))
∩
,
L
2
C
([
0,
T
]
(
Ω
))
heißt
schwache Lösung
der Rand-Anfangswertaufgabe
∂
t
u
=
div
(
A
∇
u
)
in
[
0,
T
]
×
Ω
A
∇
u
·
ν
=
0
auf
[
0,
T
]
×
∂
Ω
u
(
0
)=
u
0
H
1
falls für alle
v
∈
(
Ω
)
gilt
d
d
t
(
u
(
t
)
,
v
)+
a
(
u
(
t
)
,
v
)=
0
u
(
0
)=
u
0
.
Man nennt diese Form der Rand-Anfangswertaufgabe die
schwache Formulierung
.
Bemerkung 5.36
Die zeitliche Ableitung in der schwachen Formulierung ist ebenfalls im schwachen Sin-
ne nach Abschnitt 2.3 zu verstehen. Ausführlicher geschrieben lautet die erste Glei-
chung der schwachen Formulierung also: Für alle
v
H
1
∈
(Ω)
φ ∈D
(]
[)
und
0, 1
gilt
T
a
d
t
)
φ
(
(
u
(
t
)
,
v
)
φ
(
t
)
−
(
u
(
t
)
,
v
t
)
=
0.
0
Bemerkung 5.37
Die vorgeschlagene Abwandlung (5.18) hat noch eine weitere Interpretation: Der Dif-
fusionskoeffizient
g
(
|∇
|
)
sollte als ein Kantendetektor fungieren und die Diffusion
an Kanten verlangsamen. Bei unserer ersten Untersuchung von Kanten in Anwen-
dungsbeispiel 3.23 haben wir bemerkt, dass eine gewisse Vorglättung das Erkennen von
Kanten robuster macht. Der vorgeschlagene Diffusionskoeffizient
g
u
nimmt also
einen robusteren Kantendetektor als das klassische Perona-Malik Modell. Diese Moti-
vation geht, ebenso wie das Modell selbst, auf [30] zurück.
(
|∇
u
σ
|
)
Die modifizierte Perona-Malik-Gleichung (5.18) hat schwache Lösungen, wie in [30]
gezeigt wurde.
