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L
2
σ >
∈
(Ω)
einem
0 definieren wir den Gauß-Kern
G
wie in (3.2). Zu einer Funktion
u
σ
u
wobei
u
symmetrisch auf
R
2
fortgesetzt sei (vergleiche Abbildung 3.11).
Wir betrachten folgende modifizierte Perona-Malik-Gleichung
sei
u
σ
=
G
σ
∗
=
(
(
|∇
σ
|
)
∇
)
[
∞[
×
Ω
∂
t
u
div
g
u
u
in
0,
∂
ν
u
=
0
auf
[
0,
∞
[
×
∂
Ω
(5.18)
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für
x
∈
Ω
.
Die einzige Abwandlung gegenüber der Perona-Malik-Gleichung ist die Glättung von
u
im Argument von
g
. Um Existenz von Lösungen dieser Gleichung zu zeigen, benöti-
gen wir einen anderen Begriff als den der Viskositätslösung, nämlich den der
schwachen
Lösung
. Diesem Begriff liegt eine ähnliche Beobachtung wie Satz 5.15 zu Grunde.
Satz 5.34
Es sei A
:
R
d×d
differenzierbar und T
2
Ω
→
>
∈C
([
∞[
×
Ω)
(
·
)
∈
0
. Dann ist u
0,
mit u
t
,
L
2
(
Ω
)
genau dann eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
∂
t
u
=
div
(
A
∇
u
)
in
[
0,
T
]
×
Ω
A
∇
u
·
ν
=
0
auf
[
0,
T
]
×
∂
Ω
H
1
wenn für jede Funktion v
∈
(
Ω
)
und jedes t
∈
[
0, 1
]
gilt
Ω
(
∂
t
u
(
))
(
)
=
−
Ω
(
(
)
∇
(
))
·∇
(
)
t
,
x
v
x
d
x
A
x
u
t
,
x
v
x
d
x
.
Beweis.
Es sei
u
eine Lösung der Differentialgleichung mit der geforderten Regularität
und
v
H
1
∈
(
Ω
)
. Multiplizieren wir beide Seiten der Differentialgleichung mit
v
, inte-
grieren über
Ω
und integrieren partiell, so erhalten wir
Ω
(
∂
t
u
(
t
,
x
))
v
(
x
)
d
x
=
Ω
(
div
(
A
∇
u
))(
t
,
x
)
v
(
x
)
d
x
d
−
1
=
(
)(
(
)
∇
(
))
· ν
−
Ω
(
(
)
∇
(
))
·∇
(
)
v
x
A
x
u
t
,
x
d
H
A
x
u
t
,
x
v
x
d
x
.
∂
Ω
Das Randintegral ist auf Grund der Randbedingung Null und es folgt die Behauptung.
Andersherum sei die Gleichung der Integrale für alle
v
H
1
∈
(
Ω
)
erfüllt. Es folgt
analog zur obigen Rechnung
∂
t
u
)
(
d
−
1
.
−
div
(
A
∇
u
t
,
x
)
v
(
x
)
d
x
=
−
v
(
x
)(
A
(
x
)
∇
u
(
t
,
x
))
·
ν
d
H
Ω
∂
Ω
Da die Funktion
v
beliebig ist, können wir hier folgern, dass die Integrale auf beiden
Seiten Null sein müssen, was nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnun
g
(Lemma 2.75) die Behauptung zeigt.
Die Charakterisierung der Lösungen in diesem Satz benötigt die Voraussetzung
2
u
nicht, ebenso kann auf Differenzierbarkeit von
A
verzichtet wer-
den. Die Gleichung der Integrale lässt sich für
u
∈C
([
0,
∞
[
×
Ω
)
1
,
L
2
L
2
0,
T
;
H
1
∈C
([
]
(Ω))
∩
(
(Ω))
0,
T
