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Nach Satz 5.31, 3., gilt
3
f
(
f
(
u
2
∂
t
u
ηηη
=
u
η
)
ηηη
+
u
η
)
u
.
ηηηηη
η
<
√
3
0 ist,
f
2
(
und
f
2
(
ηηηηη
>
η
)
<
η
> λ
η
)
<
Da
u
u
0 für
u
u
0 für
u
λ
, folgt 3.
aus (5.14) bzw.
f
1
aus (5.16) gilt einerseits
f
1
(
Für die Funktion
g
1
u
η
)
<
0 genau
η
> λ
dann, wenn
u
(was 1. zeigt) und andererseits
)=
−
3
2
2
s
λ
s
2
λ
−
f
1
(
2
s
.
1
2
3
s
2
λ
+
η
<
√
3
Wie im Falle von
g
2
ist also
f
1
(
und
f
1
(
η
)
<
η
> λ
η
)
<
u
0 für
u
u
0 für
u
λ
.
Wir können dieses Korollar wie folgt interpretieren:
•
Der zweite Punkt sagt, dass Kanten auch Wendepunkte bleiben.
•
Der erste Punkt sagt, dass steile Kanten steiler und flache Kanten flacher werden.
Genauer: Kanten die flacher als
λ
sind, werden flacher.
so gibt es zwei Möglichkeiten: Ist sie flacher als
√
3
•
Ist eine Kante steiler als
,
so bleibt der Wen
de
punkt von erster Art und die Kante bleibt eine Kante. Ist die
λ
λ
Kante steiler als
√
3
λ
, so versucht der Wendepunkt ggf. seine Art zu ändern (
u
ηηη
kann wachsen und ggf. positiv werden). Dies führt unter Umständen zum soge-
nannten
Staircasing-Effekt
, siehe Abbildung 5.13.
Mit einer ähnlichen Technik wie hier kann man eine Bedingung für ein Maximumprin-
zip der eindimensionalen Perona-Malik-Gleichung herleiten, siehe Aufgabe 5.11.
Anwendungsbeispiel 5.33
(Perona-Malik zur Vorverarbeitung bei der Kantenerken-
nung)
Die Erkennung von Kanten wird durch Rauschen wesentlich erschwert. Kantendetek-
toren, die auf Ableitungen beruhen (wie z.B. der Canny-Kantendetektor aus Anwen-
dungsbeispiel 3.23) finden auch im Rauschen zahlreiche Kanten. Einen Ausweg bie-
tet eine sinnvolle Vorglättung. Die Glättung mit der Wärmeleitungsgleichung ist hier
nicht sehr sinnvoll, da sie die Position der Kanten verändert (siehe Bemerkung 5.21).
Eine Vorglättung mit der Perona-Malik-Gleichung ergibt bessere Ergebnisse, siehe
Abbildung 5.14. Wir beobachten aber auch einen Schwachpunkt der Perona-Malik-
Gleichung: Entlang der Kanten wird wenig geglättet, so dass auf der Kante selbst noch
Rauschen zu erkennen ist. Dies beeinträchtigt auch die Qualität der Kantenerkennung.
Zu guter Letzt wenden wir uns dem Problem zu, dass die Perona-Malik-Gleichung
in der bisherigen Form im Allgemeinen keine Lösungen hat. Das analytische Problem
besteht darin, dass der Gradient nicht beschränkt bleiben muss und daher auch der
Diffusionskoeffizient beliebig nahe an Null herankommt. Ein Ausweg besteht darin,
das Argument der Funktion
g
abzuändern. Es zeigt sich, dass eine kleine Glättung hier
genug ist. Der Einfachheit halber nehmen wir als Gebiet ein Quadrat:
2
.Zu
Ω =]
[
0, 1
