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Satz 5.31
Es sei u eine fünfmal differenzierbare Lösung der Perona-Malik-Gleichung (5.17). Außerdem sei
x
0
eine Kante von u
(
·
)
ηηηη
(
)=
(
)
t
0
,
an der zusätzlich noch u
t
0
,
x
0
0
gelte. Dann gilt in
t
0
,
x
0
:
f
(
1.
∂
t
u
η
=
u
η
)
u
ηηη
ηη
=
2.
∂
t
u
0
3
f
(
u
2
f
(
3.
∂
t
u
ηηη
=
u
η
)
ηηη
+
u
η
)
u
.
ηηηηη
Beweis.
Wir berechnen die Ableitungen durch Vertauschen der Differentiationsreihen-
folge:
f
(
f
(
f
(
∂
t
u
η
=
∂
η
u
t
=
∂
η
(
u
η
)
u
ηη
)=
∂
η
(
u
η
))
u
ηη
+
u
η
)
u
.
ηηη
Ähnlich erhalten wir
f
(
f
(
f
(
∂
t
u
ηη
=
∂
ηη
(
u
η
))
u
ηη
+
2
∂
η
(
u
η
))
u
ηηη
+
u
η
)
u
ηηηη
und
f
(
f
(
∂
t
u
ηηη
=
∂
ηηη
(
u
η
))
u
ηη
+
∂
ηη
(
u
η
))
u
ηηη
2
∂
ηη
(
f
(
f
(
f
(
f
(
+
η
))
ηηη
+
∂
η
(
η
))
+
∂
η
(
η
))
ηηηη
+
η
)
u
u
u
u
u
u
u
u
.
ηηηη
ηηηηη
f
(
Da wir in
x
0
eine Kante haben, sind alle Terme
u
∂
η
(
η
)) =
und
u
Null. Mit
u
ηη
ηηηη
f
(
f
(
f
(
f
(
u
2
u
η
)
u
und
∂
ηη
(
u
η
)) =
u
η
)
ηη
+
u
η
)
u
erhalten wir die Behauptun
g.
ηη
ηηη
Die zweite Aussage des Satzes sagt, dass Kanten immerhin Wendepunkte bleiben.
Aus der ersten können wir ablesen, ob die Kante mit der Zeit steiler oder flacher wird.
Die dritte Aussage sagt uns, umgangssprachlich gesagt, ob der Wendepunkt versucht,
seine Art zu ändern. Hier hängt das Verhalten von der Funktion
f
bzw.
g
ab.
Korollar 5.32
Es sei zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 5.31 der Diffusionskoeffizient g gegeben
durch eine der Funktionen
(5.14)
. Außerdem gelte in der Kante u
ηηηηη
>
0
. Dann gilt in
(
)
t
0
,
x
0
:
1.
∂
t
u
η
>
0
falls u
η
>
λ
und
∂
t
u
η
<
0
falls u
η
<
λ
ηη
=
2.
∂
t
u
0
η
<
√
3
ηηη
<
λ <
3.
∂
t
u
0
falls
u
λ
.
Beweis.
Wir betrachten die Funktion
g
2
aus (5.14), bzw.
f
2
aus (5.16).
2. ist unabhängig von der Funktion
g
und folgt direkt aus Satz 5.31.
Da in einer Kante
u
ηηη
<
η
>
0 ist, ist nach Satz 5.31, 1.,
∂
t
u
0 genau dann, wenn
f
2
(
u
η
)
<
0. Aus (5.16) folgt, dass dies genau für
u
η
>
λ
der Fall ist, andernfalls gilt
f
2
(
η
)
>
η
<
u
0. Dies zeigt 1.
Um 3. einzusehen benötigen wir die zweite Ableitung der Fluss-Funktion:
0 und damit
∂
t
u
3
s
λ
4
e
−
s
2
2
s
3
λ
f
2
(
)=
−
−
s
2
.
λ
2
