Image Processing Reference
In-Depth Information
u
(
u
(
|
x
0
)
| >
0
|
x
0
)
| >
0
u
(
u
(
x
0
)=
x
0
)=
0
0
u
(
u
(
u
(
u
(
x
0
)
x
0
)
<
0
x
0
)
x
0
)
>
0
x
0
x
0
Kante in
x
0
keine Kante in
x
0
Abbildung 5.12.
Links: Wendepunkt erster Art (Kante), rechts: Wendepunkt zweiter Art (keine Kante).
Insbesondere die erste Vermutung wollen wir ein wenig untermauern. Wir fragen uns:
Was macht die Perona-Malik-Gleichung an Kanten?
Um uns diesem Problem zu nähern, folgen wir [84] und betrachten nur noch die ein-
dimensionale Gleichung. Wir bezeichnen mit
u
die Ableitungen nach
x
und betrachten
u
|
)
u
)
.
=(
(
|
∂
t
u
g
(5.17)
Man erhält mit der Kettenregel
g
(
|
u
|
)
|
u
|
+
u
|
))
u
.
∂
t
u
=(
g
(
|
Das heißt, die eindimensionale Gleichung verhält sich wie die höherdimensionale Glei-
chung in Richtung senkrecht zu den Level-Linien. Wir können also die Ergebnisse, die
wir für die eindimensionale Gleichung erhalten, in gewissem Sinne auf den höherdi-
mensionalen Fall übertragen. Um zu untersuchen, wie sich Kanten unter der Perona-
Malik-Gleichung verhalten, definieren wir eine Kante wie folgt:
Definition 5.30
Wir sagen, dass
u
:
R
→
R
in
x
0
eine
Kante
hat, falls:
u
(
|
)
| >
1.
x
0
0
u
(
2.
x
0
)=
0
u
(
u
(
)
)
<
3.
x
0
x
0
0.
Die erste Bedingung sagt, dass das Bild nicht flach ist und die zweite und dritte
Bedingung garantieren eine bestimmte Art Wendepunkt, siehe Abbildung 5.12.
Da in einer Dimension gilt
u
|
u
,
u
)
u
∂
η
u
=
|
,
∂
ηη
u
=
∂
ηηη
u
=
sgn
(
können wir eine Kante auch charakterisieren durch
1.
∂
η
>
u
0
2.
∂
ηη
u
=
0
<
3.
0.
In dieser Notation schreibt sich die Perona-Malik-Gleichung (5.17) als
∂
ηηη
u
g
(
∂
η
f
(
∂
η
∂
t
u
=(
u
)
∂
η
u
+
g
(
∂
η
u
))
∂
ηη
u
=
u
)
∂
ηη
u
.
Im Folgenden ist es platzsparend, folgende Abkürzung zu benutzen:
u
η
=
∂
η
u
,
u
ηη
=
∂
ηη
u
, usw. Der nächste Satz beschreibt, wie sich eine Kante lokal mit der Zeit verhält.