Image Processing Reference
In-Depth Information
u (
u (
|
x 0
) | >
0
|
x 0 ) | >
0
u (
u (
x 0 )=
x 0 )=
0
0
u (
u (
u (
u (
x 0
)
x 0
) <
0
x 0 )
x 0 ) >
0
x 0
x 0
Kante in x 0
keine Kante in x 0
Abbildung 5.12. Links: Wendepunkt erster Art (Kante), rechts: Wendepunkt zweiter Art (keine Kante).
Insbesondere die erste Vermutung wollen wir ein wenig untermauern. Wir fragen uns:
Was macht die Perona-Malik-Gleichung an Kanten?
Um uns diesem Problem zu nähern, folgen wir [84] und betrachten nur noch die ein-
dimensionale Gleichung. Wir bezeichnen mit u die Ableitungen nach x und betrachten
u | )
u ) .
=(
( |
t u
g
(5.17)
Man erhält mit der Kettenregel
g ( |
u | ) |
u | +
u | ))
u .
t u
=(
g
( |
Das heißt, die eindimensionale Gleichung verhält sich wie die höherdimensionale Glei-
chung in Richtung senkrecht zu den Level-Linien. Wir können also die Ergebnisse, die
wir für die eindimensionale Gleichung erhalten, in gewissem Sinne auf den höherdi-
mensionalen Fall übertragen. Um zu untersuchen, wie sich Kanten unter der Perona-
Malik-Gleichung verhalten, definieren wir eine Kante wie folgt:
Definition 5.30
Wir sagen, dass u : R
R in x 0 eine Kante hat, falls:
u (
|
) | >
1.
x 0
0
u (
2.
x 0
)=
0
u (
u (
)
) <
3.
x 0
x 0
0.
Die erste Bedingung sagt, dass das Bild nicht flach ist und die zweite und dritte
Bedingung garantieren eine bestimmte Art Wendepunkt, siehe Abbildung 5.12.
Da in einer Dimension gilt
u |
u ,
u )
u
η
u
= |
,
ηη
u
=
ηηη
u
=
sgn
(
können wir eine Kante auch charakterisieren durch
1.
η
>
u
0
2.
ηη
u
=
0
<
3.
0.
In dieser Notation schreibt sich die Perona-Malik-Gleichung (5.17) als
ηηη
u
g ( η
f ( η
t u
=(
u
) η
u
+
g
( η
u
)) ηη
u
=
u
) ηη
u .
Im Folgenden ist es platzsparend, folgende Abkürzung zu benutzen: u
η = η
u , u
ηη =
ηη
u , usw. Der nächste Satz beschreibt, wie sich eine Kante lokal mit der Zeit verhält.
 
Search WWH ::




Custom Search