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g
1
g
2
s
s
λ
λ
Abbildung 5.9.
Funktionen
g
aus (5.14) im Diffusionskoeffienten der Perona-Malik-Gleichung.
Diese Gleichung nennen wir
Diffusionsgleichung
. Ist
A
unabhängig von
u
, so ist die
rechte Seite der Diffusionsgleichung linear und wir sprechen von linearer Diffusion. Für
A
=
c
id erhalten wir die Wärmeleitungsgleichung aus Abschnitt 5.2.1. Ist
A
von
u
(oder
auch von Ableitungen von
u
) abhängig, so sprechen wir von nichtlinearer Diffusion.
5.3.1 Die Perona-Malik-Gleichung
Die Idee von Perona und Malik in [110] war es, die Diffusion an Kanten zu verlang-
samen. Wie wir uns schon in Anwendungsbeispiel 3.23 überlegt haben, zeichnen sich
Kanten insbesondere durch große Gradienten aus. Wir steuern also den Diffusionsten-
sor
A
so, dass er für große Werte des Gradienten die Diffusion verlangsamt. Da es vor-
erst keinen Grund für anisotrope Diffusion gibt, setzen wir
=
g
(
|∇
u
|
)
id
A
[
∞[
→
[
∞[
mit einer Funktion
g
:
, welche für kleine Argumente eins ist und mo-
noton gegen Null fällt. Dadurch verhält sich die Diffusion an Stellen mit kleinem Gra-
dienten wie die normale Wärmeleitungsgleichung, an Stellen mit großen Gradienten
wird die Diffusion verlangsamt. Häufig benutzte Beispiele sind folgende Funktionen,
die von einem Parameter
0,
0,
λ >
0 abhängen:
s
2
2
1
e
−
(
)=
(
)=
g
1
s
,
g
2
s
2
,
(5.14)
λ
s
2
λ
1
+
2
siehe Abbildung 5.9 Der Parameter
steuert dabei, wie schnell die Funktionen gegen
Null gehen. Die Perona-Malik-Gleichung lautet also
λ
∂
t
u
=
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)
(5.15)
(
)=
(
)
u
0,
x
u
0
x
.
Dass die Perona-Malik-Gleichung tatsächlich den gewünschten Effekt hat, illustriert
Abbildung 5.10.
Wir beginnen die Untersuchung der Perona-Malik-Gleichung mit folgender Beob-
achtung:
