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T
t
gilt. Für die Funktion
F
bedeutet das
da es analog für alle
F
)
=
F
)
.
2
2
u
(
∇
(
D
R
u
))(
x
)
,
(
∇
(
D
R
u
))(
x
(
D
R
∇
u
)(
x
)
,
(
D
R
∇
)(
x
R
T
2
R
T
2
u
(
∇
(
))(
)=
∇
(
)
(
∇
(
))(
)=
∇
(
)
Wegen
D
R
u
x
u
Rx
und
D
R
u
x
Rx
R
gilt also
R
T
p
,
R
T
XR
F
(
)=
F
(
p
,
X
)
. Mit Hilfe des ersten Schrittes haben wir also
R
T
p
(
)=
(
)
F
1
F
1
p
(A)
RXR
T
F
2
(
)=
F
2
(
X
)
.
(B)
(
)=
(
|
|
)
(
)
≡
3.
Aus (A) folgt nun
F
1
0
sein. Nach (B) folgt, dass
F
2
nur von Größen abhängen kann, die invariant unter
Ähnlichkeitstransformationen sind. Dies ist die Menge der Eigenwerte von
X
mit
ihren Vielfachheiten. Da alle Eigenwerte die gleiche Rolle spielen, muss wegen der
Linearität gelten
p
f
p
. Da mit
F
auch
F
1
linear ist, muss
F
1
p
F
2
(
X
)=
h
(
trace
X
)=
c
trace
X
∈
für ein
c
R
.
4.
Nach [COMP] muss für
X
Y
auch
F
(
p
,
X
)
≥
F
(
p
,
Y
)
gelten. Das heißt also für
X
Y
gilt
c
trace
X
≥
c
trace
Y
bzw.
c
trace
(
X
−
Y
)
≥
0.
Also muss
c
≥
0 gelten.
Die Wärmeleitungsgleichung spielt also eine zentrale Rolle in der auf partiellen Dif-
ferentialgleichungen basierten Bildverarbeitung. Sie ist im Wesentlichen die einzige li-
neare partielle Differentialgleichung, die zum Einsatz kommt.
Bemerkung 5.20
Die Skalenraumanalyse, die von der Wärmeleitungsgleichung herkommt erfüllt nicht
[GSI], d.h. sie ist nicht kontrastinvariant. Dies sieht man wie folgt: Es sei
u
eine Lösung
der Differentialgleichung
∂
t
u
−
Δ
u
=
0 und es sei
u
=
h
(
v
)
mit einer differenzierbaren
→
und monoton wachsenden Grauwert-Transformation
h
:
R
R
. Dann gilt
h
∂
h
Δ
h
|∇
2
.
0
=
∂
t
(
h
(
v
))
−
Δ
(
h
(
v
)) =
t
v
−
v
−
v
|
0 gelten, was nur für
h
=
−
Δ
=
Wäre [GSI] erfüllt, müsste
∂
t
v
v
0 der Fall ist (lineare
Grauwert-Transformationen sind also erlaubt).
Linearität und [GSI] widersprechen sich: Eine Skalenraumanalyse, die [GSI] erfüllt,
ist also in jedem Fall nicht-linear. Beispiele für kontrastinvariante Skalenraumanalysen
werden wir in den nächsten Abschnitten kennenlernen.
