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5.2 Standard-Modelle basierend auf partiellen
Differentialgleichungen
Unsere strukturellen Untersuchungen über Skalenraumanalysen sind vorerst abge-
schlossen. Wir haben gesehen, dass sich die Untersuchung von Skalenraumanalysen
(bei Gültigkeit der entsprechenden Axiome) auf die Untersuchung von Funktionen
F
:
R
d
R
d
S
d×d
R
beschränkt. In diesem Abschnitt werden wir untersu-
chen, wie sich die morphologischen Axiome auf die Form von
F
auswirken und dabei
wichtige Differentialgleichungen zur Bildanalyse kennenlernen.
×
R
×
×
→
5.2.1 Lineare Skalenraumanalysen: Die Wärmeleitungsgleichung
Das Hauptergebnis dieses Abschnittes wird sein, dass es unter den linearen Skalenrau-
manalysen im Wesentlichen nur die Wärmeleitungsgleichung gibt.
Satz 5.19
(Eindeutigkeit der Wärmeleitungsgleichung)
Es sei
T
t
eine Skalenraumanalyse, die [TRANS], [COMP], [GLSI], [REC], [LOC], [ISO] und
[REG] erfüllt (mit gleichmäßiger Konstante C
(
)
T
t
außer-
u
,
v
in [REG]). Sind die Abbildungen
2
u
dem linear, so existiert c
>
0
, so dass F
(
∇
u
,
∇
)=
c
Δ
u. Anders gesagt: u
(
t
,
x
)=(
T
t
u
0
)(
x
)
erfüllt die Wärmeleitungsgleichung
in
R
+
×
R
d
−
=
∂
t
u
c
Δ
u
0
in
R
d
.
u
(
0,
·
)=
u
0
Beweis.
Nach Satz 5.9 existiert der infinitesimale Generator
A
und nach Satz 5.11 und
Lemma 5.13 hat er die Form
2
u
[
]=
(
∇
∇
)
A
u
F
u
,
.
S
d
×
d
Unser Ziel ist es, zu beweisen, dass die Funktion
F
:
R
d
×
→
R
die folgende Form
hat:
F
(
p
,
X
)=
c
trace
X
für ein
c
>
0.
1.
Aufgrund der Linearität der
T
t
ist auch der infinitesimale Generator linear, d.h. es
gilt
F
(
λ
p
+
μ
q
,
λ
X
+
μ
Y
)=
λ
F
(
p
,
X
)+
μ
F
(
q
,
Y
)
.
Insbesondere ist
F
(
p
,
X
)=
F
(
p
+
0, 0
+
X
)=
F
(
p
,0
)+
F
(
0,
X
)
=
(
)+
(
)
F
1
p
F
2
X
.
R
d×d
∈
2.
Nach [ISO] gilt für eine beliebige Isometrie
R
[
]=
[
]
A
D
R
u
D
R
A
u
,
