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und folgern
F
id
.
∂ϕ
∂
2
t
(
0, 0
)
≤
∇
ϕ
(
0, 0
)
,
∇
ϕ
(
0, 0
)+
2
ε
(
1
+
|
q
|
)
Da die Ungleichung für jedes
ε
>
0 gilt, können wir auf Grund der Stetigkeit von
F
zum Grenzwert
0 übergehen und erhalten die Behauptung. Die Behauptung f
ür
Viskositätsoberlösungen zeigt man völlig analog.
ε
=
Nun können wir zeigen, dass Skalenraumanalysen nach Satz 5.11 im Sinne von Vis-
kositätslösungen Lösungen partieller Differentialgleichungen sind.
Satz 5.18
Es sei
eine Skalenraumanalyse, welche die Axiome [TRANS], [COMP], [GLSI], [REC],
[REG] und [LOC] erfüllt. Der infinitesimale Generator von
(
T
t
)
2
u
(
T
t
)
sei A
[
u
]=
F
(
∇
u
,
∇
)
und
∈C
b
R
d
(
)
(
)=(
T
t
u
0
)(
)
es sei u
0
. Dann ist die Funktion u
t
,
x
x
eine Viskositätslösung der
Gleichung
∂
u
∂
2
u
t
(
)=
(
∇
(
)
∇
(
))
t
,
x
F
u
t
,
x
,
t
,
x
mit der Anfangsbedingung u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
.
Beweis.
Nach Satz 5.11 und Lemma 5.13 hat der Generator die geforderte Form. Wir
zeigen:
u
ist eine Viskositätsunterlösung. Der Beweis, dass
u
eine Viskositätsoberlösung
ist, funktioniert analog. Sei
2
R
d
ϕ ∈C
([
∞[
×
)
(
)
>
− ϕ
0,
und
t
0
,
x
0
mit
t
0
0 so, dass
u
ein lokales Maximum ist. Ohne Einschränkung können wir
u
(
t
0
,
x
0
)=
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
,
u
≤
ϕ
∈C
b
R
d
ϕ
(
)=
(
)+
(
)
(
)
annehmen und nach Lemma 5.17 reicht es,
t
,
x
f
x
g
t
mit
f
und
∈C
b
g
zu betrachten.
Wegen [REC] lässt sich für 0
(
)
R
<
h
≤
t
0
schreiben:
)=
T
h
u
·
)
(
ϕ
(
)=
(
(
−
)
t
0
,
x
0
u
t
0
,
x
0
t
0
h
,
x
0
.
Mit [COMP] und [GLSI] folgt:
(
)+
(
)=
ϕ
(
)
f
x
0
g
t
0
t
0
,
x
0
=
T
h
u
·
)
(
(
t
0
−
h
,
x
0
)
≤T
h
ϕ
(
·
)
(
−
)
t
0
h
,
x
0
=
T
h
(
f
)(
x
0
)+
g
(
t
0
−
h
)
.
Umordnen ergibt
g
(
t
0
)
−
g
(
t
0
−
h
)
≤
T
h
(
f
)
−
f
(
x
0
)
.
h
h
∈C
b
R
d
(
)
→
Weil
f
und
g
differenzierbar ist, kann man den Grenzübergang
h
0 voll-
F
)
. Wegen
ziehen und bekommt nach Satz 5.11:
g
(
2
f
t
0
)
≤
∇
f
(
x
0
)
,
∇
(
x
0
ϕ
(
t
,
x
)=
f
(
x
)+
g
(
t
)
ist aber
F
)
.
∂ϕ
∂
2
t
(
)
≤
∇ϕ
(
)
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
Nach Definition ist
u
eine Viskositätsunterlösung.
