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Beweis.
Wir zeigen den Fall einer Viskositätsunterlösung und nehmen an, dass De-
finition 5.16 für alle
ϕ
der Form
ϕ
(
t
,
x
)=
f
(
x
)+
g
(
t
)
mit
f
,
g
wie gefordert gilt.
(
)=(
)
Wir betrachten nun ohne Einschränkung den Fall
t
0
,
x
0
0, 0
und eine Funktion
2
R
d
ϕ
∈C
([
0,
∞
[
×
)
, so dass
u
−
ϕ
in
(
0, 0
)
ein Maximum hat. Es ist also zu zeigen, dass
dann
∂ϕ
∂
2
t
(
0, 0
)
≤
F
(
∇
ϕ
(
0, 0
)
,
∇
ϕ
(
0, 0
))
gilt.
Wir betrachten die Taylor-Entwicklung von
ϕ
um
(
0, 0
)
und bekommen mit
a
=
2
∂ϕ
∂
2
∂
ϕ
1
1
2
2
ϕ
(
)
=
(
)
=
∇ϕ
(
)
=
(
)
=
∇
ϕ
(
)
=
0, 0
,
b
0, 0
,
p
0, 0
,
c
0, 0
,
Q
0, 0
und
q
t
∂
t
2
1
2
∂
∇ϕ
(
)
0, 0
, dass gilt
∂
t
ct
2
x
T
Qx
2
t
2
ϕ
(
t
,
x
)=
a
+
bt
+
p
·
x
+
+
+
tq
·
x
+
o
(
|
x
|
+
)
.
∈C
b
R
d
∈C
b
ε >
(
)
(
)
Wir definieren zu einem
0 die Funktionen
f
und
g
R
für kleine
Werte von
x
bzw.
t
durch
+
|
q
2
)
|
x
T
Qx
2
(
)=
+
·
+
+
ε
(
|
f
x
a
p
x
1
x
+(
|
q
|
2
t
2
.
(
)=
ε
+
ε
+
)
g
t
bt
c
Die Beschränktheit von
f
und
g
können wir dabei mit Hilfe einer Abschneidefunktion
w
wie in (5.10) im Beweis von Satz 5.11 erreichen. Damit gilt für kleine Werte von
x
und
t
:
ε|
2
|
+
|
|
q
q
2
t
2
2
t
2
2
t
2
ϕ
(
t
,
x
)=
f
(
x
)+
g
(
t
)
−
x
|
−
tq
·
x
+
ε
(
|
x
|
+
)
+
o
(
|
x
|
+
)
.
2
ε
Wegen
ε
|
2
|
q
+
|
q
|
≥ ε
|
q
2
|
+
|
q
|
2
t
2
2
t
2
|
−
·
|
−
|
||
|
x
tq
x
x
t
q
x
2
ε
2
ε
t
2
|
q
|
2
|
|
q
|
=
x
|−
≥
0
2
ε
folgt, dass für kleine
x
und
t
gilt
ϕ
(
t
,
x
)
≤
f
(
x
)+
g
(
t
)
. Also gilt in einer Umgebung
von
(
)
(
)
− ϕ
(
)
≥
(
)
−
(
)
−
(
)
0, 0
auch
u
t
,
x
t
,
x
u
t
,
x
f
x
g
t
und insbesondere folgt, dass
u
−
f
−
g
in
(
0, 0
)
ein lokales Maximum hat. Auf Grund unserer Annahme folgt
∂
(
+
)
f
g
2
(
)
≤
(
∇
(
+
)(
)
∇
(
+
)(
))
0, 0
F
f
g
0, 0
,
f
g
0, 0
.
∂
t
Nun bemerken wir
∂
(
+
)
f
g
)=
∂ϕ
∂
(
t
(
)
∇
(
+
)(
)=
∇ϕ
(
)
0, 0
0, 0
,
f
g
0, 0
0, 0
∂
t
2
2
∇
(
+
)(
)=
∇
ϕ
(
)+
ε
(
+
|
|
)
f
g
0, 0
0, 0
2
1
q
id
