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=
ϕ
Andersherum setzen wir 1. und 2. voraus. Dann kann man
u
setzen und erhält
R
d
. Daher
lokale Maxima und Minima auf dem ganzen Gebiet
[
0,
∞
[
×
F
t
,
x
,
u
)
,
∂
u
∂
2
u
t
(
)
≤
(
)
∇
(
)
∇
(
t
,
x
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
F
t
,
x
,
u
)
∂
u
∂
2
u
t
(
)
≥
(
)
∇
(
)
∇
(
t
,
x
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
und folglich
F
t
,
x
,
u
)
∂
u
∂
2
u
t
(
t
,
x
)=
(
t
,
x
)
,
∇
u
(
t
,
x
)
,
∇
(
t
,
x
R
d
.
[
∞[
×
auf ganz
0,
Das erstaunliche an der Charakterisierung der Lösungen in Satz 5.15 ist, dass man
für die Formulierung der Aussagen 1. und 2. nicht benutzt, dass
u
zweimal stetig dif-
ferenzierbar ist. Ersetzt man
u
durch eine stetige Funktion, so kann man immer noch
entscheiden, ob in einem Punkt ein lokales Maximum oder Minimum von
u
− ϕ
vor-
liegt. Weiterhin werden in den entsprechenden Ungleichungen nur Ableitungen der
Testfunktionen
benötigt. Anders formuliert lautet also die eine Richtung des Satzes:
Gilt 1. und 2. für ein stetiges
u
, dann ist
u
auch eine Lösung der Gleichung (5.11), falls
die Regularitätsforderung
u
ϕ
2
R
d
erfüllt ist. Die Abschwächung dieser Re-
gularitätsforderung ist die Motivation für die Definition von Viskositätslösungen.
∈C
([
0,
∞
[
×
)
Definition 5.16
Sei
F
wie in Satz 5.15 und sei
u
R
d
∈C
([
0,
∞
[
×
)
. Dann ist:
2
R
d
ϕ ∈C
([
∞[
×
)
1.
u
eine
Viskositätsunterlösung
, falls für jedes
0,
und jedes lokale
Maximum
(
t
0
,
x
0
)
von
u
−
ϕ
folgt:
F
t
0
,
x
0
,
u
)
,
∂ϕ
∂
2
t
(
)
≤
(
)
∇ϕ
(
)
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
2
R
d
2.
u
eine
Viskositätsoberlösung
, falls für jedes
ϕ
∈C
([
0,
∞
[
×
)
und jedes lokale
Minimum
(
)
− ϕ
t
0
,
x
0
von
u
folgt:
F
t
0
,
x
0
,
u
)
,
∂ϕ
∂
2
t
(
t
0
,
x
0
)
≥
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
3.
u
eine
Viskositätslösung
, falls
u
eine Viskositätsoberlösung und Viskositätsunterlö-
sung ist.
2
u
abhängt lässt sich
∇
∇
Für den Spezialfall in dem die Funktion
F
nur von
u
und
folgendes nützliches Lemma zeigen:
Lemma 5.17
Es sei F
:
R
d
S
d
×
d
×
→
R
stetig und elliptisch, also F
(
p
,
X
)
≥
F
(
p
,
Y
)
für X
Y. Eine
R
d
Funktion u
∈C
([
∞[
×
)
∈
0,
ist dann eine Viskositätsunter- bzw. -oberlösung, falls für alle f
C
b
R
d
∈C
b
(
)
und g
(
R
)
der entsprechende Teil aus Definition 5.16 mit
ϕ
(
t
,
x
)=
f
(
x
)+
g
(
t
)
gilt.
