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Die Problematik fehlender Regularität ist zentral in der Lösungstheorie partieller
Differentialgleichungen. Ein häufig verwendeter Ansatz ist die Betrachtung von
schwa-
chen Lösungen
. Dies ist ein verallgemeinerter Lösungsbegriff, bei dem man von den Lö-
sungen weniger Regularität fordert. In dem Kontext der Skalenraum-Theorie wird der
Begriff der
Viskositätslösungen
verwendet, um schwache Lösungen mit den gewünsch-
ten Eigenschaften zu definieren. Wir geben im Folgenden einen kleinen Einblick in die
weite Theorie der Viskositätslösungen, ohne uns sehr mit den Details zu beschäftigen.
Die Definition der Viskositätslösung basiert auf folgender wichtiger Beobachtung:
Satz 5.15
Sei F
:
S
d
×
d
R
d
R
d
[
0,
∞
[
×
×
R
×
×
→
R
eine stetige Funktion, die darüber hinaus elliptisch
2
ist, also F
(
t
,
x
,
u
,
p
,
X
)
≥
F
(
t
,
x
,
u
,
p
,
Y
)
immer dann, wenn X
Y. Dann ist u
∈C
([
0,
∞
[
×
R
d
)
genau dann eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
F
t
,
x
,
u
)
∂
u
∂
2
u
t
(
)=
(
)
∇
(
)
∇
(
t
,
x
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
(5.11)
R
d
, wenn gilt:
in
]
0,
∞
[
×
2
R
d
ϕ ∈C
([
∞[
×
)
(
)
− ϕ
1.
Für alle
0,
und für alle lokalen Maxima
t
0
,
x
0
der Funktion u
gilt:
F
t
0
,
x
0
,
u
)
.
∂ϕ
∂
2
t
(
)
≤
(
)
∇ϕ
(
)
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
2
R
d
2.
Für alle
ϕ
∈C
([
0,
∞
[
×
)
und für alle lokalen Minima
(
t
0
,
x
0
)
der Funktion u
−
ϕ
gilt:
F
t
0
,
x
0
,
u
t
0
,
x
0
)
.
∂ϕ
∂
2
t
(
t
0
,
x
0
)
≥
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
2
R
d
ϕ ∈C
([
∞[
×
)
(
)
− ϕ
Beweis.
Sei
0,
und
t
0
,
x
0
ein lokales Maximum der Funktion
u
.
Nach den klassischen notwendigen Bedingungen für ein Maximum folgt also
∇
(
− ϕ
)(
)=
∇
(
)=
∇ϕ
(
)
u
t
0
,
x
0
0
bzw.
u
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
∂
(
u
−
ϕ
)
∂
∂
u
∂
)=
∂ϕ
∂
(
t
0
,
x
0
)=
0
bzw.
t
(
t
0
,
x
0
t
(
t
0
,
x
0
)
t
2
2
u
2
∇
(
u
−
ϕ
)(
t
0
,
x
0
)
0
bzw.
∇
(
t
0
,
x
0
)
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
.
Also ist wegen der Elliptizität
F
t
0
,
x
0
,
u
)
∂ϕ
∂
)=
∂
u
∂
2
u
t
(
t
(
)=
(
)
∇
(
)
∇
(
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
t
0
,
x
0
,
u
t
0
,
x
0
,
t
0
,
x
0
F
t
0
,
x
0
,
u
)
2
≤
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
u
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
F
t
0
,
x
0
,
u
)
.
2
=
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
,
∇
ϕ
(
t
0
,
x
0
Die Aussage 2. lässt sich vollkommen analog zeigen.
