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Originalbild
u
t
=
50
t
=
100
t
=
150
Abbildung 5.4.
Illustration des Fourier-Soft-Thresholdings aus Beispiel 5.5 auf verschiedenen Skalen
t
.
Beispiel 5.6
(Lösungen von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung)
Sei
F
:
R
d
R
d
×
d
R
d
×
R
×
×
→
R
eine glatte Funktion. Dann kann man die Cauchy-
Aufgabe
F
x
,
u
)
,
2
u
∂
t
u
=
(
x
)
,
∇
u
(
x
)
,
∇
(
x
u
(
0
)=
u
0
(5.7)
∈C
b
R
d
(
)
betrachten. Wenn man annimmt, dass für jedes
u
0
eine eindeutige Lösung
von (5.7) existiert, kann man definieren:
T
t
u
0
=
u
(
t
,
·
)
was eine Skalenraumanalyse ergibt.
Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass sich viele der zuvor beschriebenen
Beispiele im gewissen Sinn als Lösung von (5.7) darstellen lassen. Dies ist ein zentrales
Resultat der Skalenraumtheorie und untermauert einerseits die Verwendung von parti-
ellen Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung und identifiziert sie andererseits
als eine der allgemeinsten Klassen von Skalenraumanalysen.
