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∂
α
u
)=
∂
α
v
∈
(
(
)
=
(
)
Wir erhalten also für
u
,
v
X
mit
x
x
mit
y
exp
At
:
(
T
t
u
−T
t
v
)(
)=
(
(
)
)
−
(
(
)
)
x
u
exp
At
x
v
exp
At
x
2
2
=
O
(
|
(
(
)
−
)
|
)
≤O
(
(
)
−
)
exp
At
id
x
exp
At
id
.
−
=
O
(
)
Aus den Eigenschaften der Matrixexponentialfunktion folgt
exp
At
id
t
und
damit
.
Allgemeiner lassen sich Halbgruppen von Transformationen auch durch Lösungen
von gewöhnlichen Differentialgleichungen beschreiben. Betrachte ein Vektorfeld
v
(
T
t
u
−T
t
v
)(
x
)=
o
(
t
)
∈
C
∞
(
R
d
,
R
d
)
. Die dazugehörigen Integralkurven
j
sind definiert durch
v
j
)
,
(
)=
(
(
)=
∂
t
j
t
,
x
t
,
x
j
0,
x
x
.
Eine Skalenraumanalyse ist dann gegeben durch
u
j
)
.
(
T
t
u
)(
)=
(
x
t
,
x
(5.2)
Im Spezialfall
v
Ax
ergibt sich obige Koordinatentransformation (5.1). Analog erbt
diese Klasse von Skalenraumanalysen die oben aufgezählten Eigenschaften von (5.1).
Die Wirkung von (5.1) sowie (5.2) auf ein Beispielbild ist in Abbildung 5.1 zu sehen.
(
x
)=
Beispiel 5.3
(Falten mit dilatierten Kernen)
Sei
ein Faltungskern mit der Eigenschaft
R
d
L
1
R
d
ϕ
∈
(
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
1 und
τ
:
[
0,
∞
[
→
[
∞[
τ
(
)=
0 und lim
t→
∞
τ
(
)=
0,
eine stetige, monoton steigende Zeitskalierung mit
0
t
ϕ
x
τ
(
t
)
. Wir definieren die Operatoren
)
−
d
∞
. Erkläre die dilatierten Kerne
ϕ
t
(
x
)=
τ
(
t
T
t
durch
u
∗ ϕ
t
>
falls
t
0
(
T
t
u
)=
0
,
(5.3)
=
u
falls
t
und erhalten damit eine Skalenraumanalyse. Ihre Wirkung ist in Abbildung 5.2 illus-
triert.
Die Operatoren sind, wie in Beispiel 5.2 schon, linear und man kann wieder die
Gültigkeit der Axiome überprüfen. Wir wollen hier allerdings etwas mehr ins Detail
gehen und diskutieren die Gültigkeit jedes einzelnen Axioms.
∗ ϕ
s
=
ϕ
t
+
s
für alle
s
,
t
>
[REC]:
Im Allgemeinen kann man nicht sagen, dass
0
gilt, was äquivalent zu [REC] wäre. Wie man aber anhand von Aufgabe 4.4 sehen
kann, gibt es durchaus Situationen, in denen dies zutrifft, wie zum Beispiel für
den Gauß-Kern
ϕ
t
)=
√
t
.
1
d
/2
e
−
|
x
|
2
ϕ
(
)=
τ
(
x
4
,
t
(
4
π
)
Die Gültigkeit des Axioms hängt also stark vom verwendeten Kern und von der
Zeitskalierung ab.
