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Regularität:
Für alle
u
,
v
∈
X
und
h
,
t
∈
[
0, 1
]
existiert
C
(
u
,
v
)
>
0:
[REG]
T
t
(
+
)
−T
t
u
−
∞
≤
(
)
u
hv
hv
C
u
,
v
ht
.
Dies ist eine Forderung an die Beschränktkeit des Differenzenquotienten in Rich-
tung
v
. Im Falle von linearen Operatoren
T
t
wird dies zu
∈
∈
[
]
(
)
>
T
t
v
−
∞
≤
(
)
Für alle
v
X
und
t
0, 1
existiert
C
v
0:
v
C
v
t
.
Lokalität:
R
d
mit
∂
α
u
)=
∂
α
v
N
d
gilt:
∈
∈
(
(
)
α ∈
Für alle
u
,
v
X
,
x
x
x
für alle
[LOC]
(
T
t
u
−T
t
v
)(
x
)=
o
(
t
)
für
t
→
0.
T
t
u
(
)
Grob gesagt beschreibt dieses Axiom, dass der Wert von
x
für kleines
t
nur
durch das Verhalten von
u
in der Nähe von
x
bestimmt wird.
Stabilität.
Vergleichsprinzip:
(Monotonie)
∈
≤
Für alle
u
,
v
X
mit
u
v
folgt
[COMP]
T
t
u
≤T
t
v
für
t
→
0.
Falls ein Bild heller als das andere ist, soll das auch so bleiben. Ist
T
t
linear, so ist
das äquivalent zu
T
t
u
≥
0 falls
u
≥
0.
Morphologische Axiome.
Die architekturellen Axiome und die Stabilität sagen nur we-
nig über die Art, wie sich Bilder unter der Skalenraumanalyse verhalten sollen. Die
morphologischen Axiome verlangen Eigenschaften, die aus Sicht der Bildverarbeitung
naheliegend sind.
Grauwert-Verschiebungsinvarianz:
Für alle
t
≥
0,
c
∈
R
,
u
∈
X
gilt
T
t
(
)=
[GLSI]
0
0
T
t
(
u
+
c
)=
T
t
(
u
)+
c
.
Dieses Axiom besagt, dass a priori keine Annahme über den Grauwertbereich des
Bildes getroffen wird.
Grauwert-Skalierungsinvarianz:
(Kontrastinvarianz; enthält [GLSI], ist aber stärker)
∈C
∞
(
≥
∈
→
)
Für alle
t
0,
u
X
,
h
:
R
R
nicht-fallend und
h
R
gilt
T
t
h
)
=
h
)
[GSI]
(
u
T
t
(
u
Die Abbildung
h
ordnet die Grauwerte ordnungserhaltend um. Dieses Axiom
sagt, dass die Skalenraumanalyse nur von der Form der Niveaumengen und nicht
vom Kontrast abhängt.
