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Definition 5.1
Eine
Skalenraumanalyse
(manchmal auch
Multiskalendarstellung
) ist eine Familie von
Transformationen
(
T
t
)
t
≥
0
mit der Abbildungseigenschaft
C
b
R
d
R
d
T
t
:
(
)
→BC
(
)
für alle
t
≥
0.
≥
Wir nennen
t
0 die
Skala
.
Die Definition ist sehr allgemein gehalten und ohne weitere Eigenschaften kann
der Begriff der Skala nicht näher interpretiert werden. Der Hintergrund ist aber die
Auffassung, dass durch
T
t
u
ein Bild
u
auf allen möglichen „Skalen“ dargestellt wird,
und mit zunehmenden
t
nur noch grobskaligere Merkmale des Bildes zu finden sind.
Diese Auffassung wird in den Axiomen reflektiert, die sich grob in drei Klassen eintei-
len lassen:
Architekturelle Axiome:
Diese Axiome bilden den Grundrahmen und modellieren
hauptsächlich die Vorstellung des Skalenraumes.
Stabilität:
Das Axiom, das Stabilität erzeugt, wird das sogenannte Vergleichsprinzip
oder auch Maximumprinzip sein.
Morphologische Axiome:
Diese Axiome beschreiben etwas näher Grundannahmen,
welche aus Sicht der Bildverarbeitung sinnvoll sind. Genauer sagen sie, wie sich
Formen unter des Skalenraumanalyse verhalten.
=
C
b
R
d
Verwenden wir im folgenden die Abkürzung
X
(
)
und postulieren:
Architekturelle Axiome.
Rekursivität:
(Halbgruppeneigenschaft)
∈
X
,
s
,
t
≥
0:
Für alle
u
[REC]
T
0
(
u
)=
u
T
s
◦T
t
(
)=
T
s
+
t
(
)
u
u
.
Die Hintereinanderausführung zweier Transformationen einer Skalenraumanaly-
se soll wiederum eine Transformation innerhalb derselben sein (assoziiert mit der
Summe der Skalenparameter). Das bedeutet auch, dass sich die Darstellung
T
t
(
)
u
aus jeder der Darstellungen
T
s
(
u
)
mit
s
<
t
gewinnen lässt. In gewissem Sin-
T
s
(
)
ne enthält
u
also alle nötigen Informationen, um die gröberen Darstellungen
T
t
(
zu generieren. Der Informationsgehalt wird also höchstens geringer. Wei-
terhin reduziert sich bei diskretisierten Skalen die Analyse auf die Iteration eines
einzigen Operators
u
)
T
t
/
N
.
Hier ist es erst einmal ein Problem, dass der Wertebereich der Operatoren
T
t
nicht
im Definitionsbereich enthalten ist und die Hintereinanderausführung von
T
t
und
T
s
im Allgemeinen nicht definiert ist. Vorerst behelfen wir uns damit, zu sagen,
dass [REC] erfüllt sein soll, wenn immer
definiert ist. In Lemma 5.8
werden wir eine elegantere Lösung dieses Problems sehen.
T
s
◦T
t
(
u
)
