Image Processing Reference
In-Depth Information
Neben Curvelets und Shearlets gibt es zahlreiche andere Ansätze, Bilder in elemen-
tare Bestandteile zu zerlegen, die möglichst gut die Struktur des Bilder widerspiegeln
(Ridgelets, Edgelets, Bandlets, Brushlets, Beamlets oder Platelets sind nur einige davon
- manche sprechen angesichts der Fülle von „-lets“ auch von
∗
-lets).
4.6 Aufgaben
R
d×d
folgende
Vertauschungsrelation für Translation, Modulation und lineare Koordinatentransformation:
R
d
und
A
Aufgabe
4.1 (Vertauschung mit der Modulation)
.
Zeigen Sie für
ξ
,
y
∈
∈
e
i
ξ·y
T
y
M
M
T
y
=
,
M
D
A
=
D
A
M
A
T
.
ξ
ξ
ξ
ξ
Aufgabe
4.2
.
Arbeiten Sie den Beweis von Lemma 4.8 aus.
Aufgabe
4.3 (Die sinc-Funktion als Fouriertransformierte)
.
Zeigen Sie, dass die Fouriertransfor-
mation der charakteristischen Funktion
χ
[
−B
,
B
]
gegeben ist durch
2
π
B
ξ
π
)
Fχ
[
−B
,
B
]
(
ξ
)=
(
B
sinc
.
Aufgabe
4.4 (Fouriertransformierte und Halbgruppeneigenschaft)
.
1.
→
Berechnen Sie die Fouriertransformierte von
f
:
R
R
, definiert durch
1
f
(
x
)=
x
2
.
1
+
2.
Zeigen Sie, dass für die Funktionenfamilie
(
f
a
)
0
, definiert durch
a
>
1
a
1
f
a
(
x
)=
x
2
a
2
folgende Halbgruppeneigenschaft bezüglich der Faltung gilt
π
+
1
f
a
∗
f
b
=
f
a
+
b
.
Zeigen Sie, dass die Familie der skalierten Gauß-Funktionen
g
a
:
R
d
3.
→
R
, definiert durch
1
d
/2
e
−
|
x
|
2
g
a
(
x
)=
4
a
(
)
4
π
a
ebenfalls die folgende Halbgruppeneigenschaft erfüllt
∗
g
b
=
g
a
g
a
+
b
.
N
d
ein Multiindex. Zeigen Sie, dass der
γ ∈
Aufgabe
4.5 (Konvergenz im Schwartz-Raum)
.
Es sei
∂
γ
∂
R
d
R
d
Ableitungsoperator
:
S
(
)
→S
(
)
stetig ist.
x
γ
Aufgabe
4.6 (Fouriertransformierte einer Distribution)
.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
Φ
k
(
φ
)=
φ
(
k
)
(
)
, die einer Schwartzfunktion ihre
k
-te Ableitung in 0 zuordnet, eine temperierte Distribu-
tion ist und berechnen Sie ihre Fouriertransformation.
0
