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/
√
2. Etwas allgemeiner gilt auch
=(
φ
−
1,0
+
φ
−
1,1
)
oder anders ausgedrückt
φ
0,
0
/
√
2. Mit Aufspaltung in gerade und ungerade Indizes und
den Eigenschaften des Skalarprodukts bekommen wir
φ
j
+
1,
k
=(
φ
j
,2
k
+
φ
j
,2
k
+
1
)
=
−
P
W
j
+1
u
P
V
j
+1
u
=
k∈
Z
(
u
,
φ
j
,
k
)
φ
j
,
k
−
k∈
Z
(
u
,
φ
j
+1,
k
)
φ
j
+1,
k
=
k∈
Z
(
u
,
φ
j
,2
k
)
φ
j
,2
k
+
k∈
Z
(
u
,
φ
j
,2
k
+1
)
φ
j
,2
k
+1
P
V
j
u
1
2
k∈
Z
(
u
,
φ
j
,2
k
+
φ
j
,2
k
+1
)(
φ
j
,2
k
+
φ
j
,2
k
+1
)
−
1
2
k
∈
Z
(
u
,
φ
j
,2
k
− φ
j
,2
k
+1
)(
φ
j
,2
k
− φ
j
,2
k
+1
).
=
Die Projektion auf
W
j
+
1
entspricht also der Entwicklung bezüglich der Funktionen
(
φ
j
,2
k
− φ
j
,2
k
+1
)
/
√
2. Dies können wir mit folgender Notation vereinfachen
2
−j
/2
2
−j
x
ψ
(
x
)=
φ
(
2
x
)
−
φ
(
2
x
−
1
)
,
ψ
j
,
k
(
x
)=
ψ
(
−
k
)
.
/
√
2 und es gilt
Damit ist
ψ
j
+1,
k
=(
φ
j
,2
k
−
φ
j
,2
k
+1
)
=
k∈
Z
(
u
,
ψ
j
,
k
)
ψ
j
,
k
P
W
j
u
siehe Abbildung 4.13. Wir haben gesehen: Auch die Räume
W
j
haben Orthonormal-
(
ψ
j
,
k
)
k∈
Z
. Die Funktion
basen, nämlich
ψ
ist gerade wieder das Haar-Wavelet aus Bei-
spiel 4.61.
Das obige Beispiel zeigt, dass sich zur stückweise konstanten Multiskalenanalyse
tatsächlich ein Wavelet (das Haar-Wavelet) findet, welches eine Orthonormalbasis der
Wavelet-Räume
W
j
liefert. Eine ähnliche Konstruktion funktioniert auch allgemein, wie
folgender Satz zeigt.
Satz 4.67
Es sei
(
)
V
j
eine Multiskalenanalyse mit Generator
φ
. Die Funktion
φ
erfülle die Skalierungs-
gleichung
(4.4)
mit einer Folge
(
h
k
)
. Definiere
ψ
∈
V
−
1
durch
)=
√
2
k
h
1
−
k
φ
(
k∈
Z
(
−
1
)
ψ
(
x
2
x
−
k
)
.
Dann gilt:
{
ψ
j
,
k
k
1.
Die Menge
∈
Z
}
ist eine Orthonormalbasis von W
j
.
{ψ
j
,
k
j
,
k
ist eine Orthonormalbasis von L
2
∈
}
(
)
2.
Die Menge
Z
R
.
3.
Die Funktion
ψ
ist ein Wavelet mit c
ψ
=
2ln2
.
