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√
|a|
ψ
(
1
x
−b
a
)
g
(
x
−
t
)
ψ
(
x
)
x
x
b
t
e
−
i
ξx
Re
(
g
(
x
−
t
)
)
Abbildung 4.11.
Lokalisierung bei der gefensterten Fouriertransformation (links) und bei der Wavelettransfor-
mation (rechts).
G
g
eine Isometrie und nach den Vorbe-
merkungen bleibt nur der adjungierte Operator auszurechnen. Für
u
Beweis.
Auf Grund der Normierung von
g
ist
L
2
R
d
∈
(
)
und
L
2
R
2
d
F
∈
(
)
gilt:
G
g
F
(
u
,
)
L
2
)
=(
G
g
u
,
F
)
L
2
(
R
d
(
R
2
d
)
=
R
2
d
G
g
u
(
ξ
)
(
ξ
)
,
t
F
,
t
d
ξ
d
t
1
e
−
i
x·ξ
d
x F
=
R
d
u
(
x
)
g
(
x
−
t
)
(
ξ
,
t
)
d
ξ
d
t
(
π
)
d
/2
2
R
2
d
1
=
(
)
(
ξ
)
e
i
x·ξ
g
(
−
)
R
d
u
x
R
2
d
F
,
t
x
t
d
ξ
d
t
d
x
,
d
/2
(
2
π
)
also
1
G
g
F
e
i
x
·
ξ
g
(
)=
(
ξ
)
(
−
)
x
R
2
d
F
,
t
x
t
d
ξ
d
t
.
(
π
)
d
/2
2
Die gefensterte Fouriertransformation wird nicht im großen Stil in der Bildverarbei-
tung eingesetzt. Dies hat mehrere Gründe: Einerseits erhält man bei der Transformation
eines Bildes eine Funktion in vier Variablen. Dies bedeutet einen großen Speicherbe-
darf und ist auch nicht mehr einfach visuell zugänglich. Andererseits ist die Diskreti-
sierung der gefensterten Fouriertransformation nicht naheliegend und es gibt kein di-
rektes Analogon zu den Fourierreihen oder der diskreten Fouriertransformation. An
dieser Stelle belassen wir es bei dem bisher gezeigten und verweisen auf [67].
4.4.2 Die kontinuierliche Wavelettransformation
Eine weitere Transformation, die lokales Verhalten analysiert ist die Wavelettransfor-
mation. Diese hat breite Anwendung in der Bildverarbeitung gefunden, insbesondere
auf Grund ihrer besonders eleganten Diskretisierung und der numerischen Effizienz.
Wir beschreiben einen ähnlichen Weg wie für die Fouriertransformation: Zuerst führen
wir die kontinuierliche Wavelettransformation ein, dann Waveletreihen und schließlich
behandeln wir die diskrete Wavelettransformation.
