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Dank der Vorarbeiten aus den Abschnitten 4.1.1 bis 4.1.3 ist die Analyse der ele-
mentaren Abbildungseigenschaften der gefensterten Fouriertransformation nicht sehr
aufwändig.
Lemma 4.55
Es seien u
,
v
,
g
L
2
R
d
L
2
R
2
d
∈
(
)
. Dann ist
G
g
u
∈
(
)
und es gilt
2
(
G
g
u
,
G
g
v
)
L
2
)
=
g
(
u
,
v
)
2
.
(
R
2
d
Beweis.
Um die Gleichheit der Skalarprodukte zu zeigen, möchten wir die Isometrieei-
genschaft der Fouriertransformation und speziell die Plancherel-Formel (4.2) benutzen.
Dazu bezeichnen wir mit
F
t
die Fouriertransformation bezüglich der Variable
t
.Wir
nutzen nun eine der alternativen Darstellungen und den Faltungssatz und bekommen:
t
(
ω
)=
F
t
π
)
−d
/2
F
G
g
u
(
ξ
,
·
)
(
2
(
M
u
∗
D
id
g
)
(
ω
)
−ξ
−
=
F
(
)(
ω
)(
F
)(
ω
)
M
u
D
−
id
g
−ξ
=
u
(
ω
+
ξ
)
g
(
ω
)
.
Jetzt rechnen wir
(
G
g
u
,
G
g
v
)
L
2
)
=(
F
t
(
G
g
u
)
F
t
(
G
g
v
))
L
2
,
(
R
2
d
(
R
2
d
)
=
R
d
u
(
ω
+
ξ
)
g
(
ω
)
v
(
ω
+
ξ
)
g
(
ω
)
d
ξ
d
ω
R
d
2
=
R
d
|
(
ω
)
|
R
d
(
ω
+
ξ
)
(
ω
+
ξ
)
g
u
v
d
ξ
d
ω
2
2
=
(
)
2
g
u
,
v
2
2
=
(
)
2
.
g
u
,
v
Damit sehen wir, dass die gefensterte Fouriertransformation eine Isometrie ist und
als solche wird sie auf ihrem Bild durch ihre Adjungierte invertiert (bis auf eine Kon-
stante). Wir haben also:
Korollar 4.56
Für u
,
g
L
2
R
d
∈
(
)
mit
g
2
=
1
gilt die Umkehrformel
1
e
i
x
·
ξ
d
(
)=
R
d
G
g
u
(
ξ
)
(
−
)
u
x
,
t
g
x
t
ξ
d
t
für fast alle x
.
d
/2
(
2
π
)
R
d
