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der gesamten Fouriertransformierten zur Folge. Anders ausgedrückt: Die Fouriertrans-
formation ist eine globale Transformation in dem Sinne, dass der Wert
alle Werte
von
u
mit einbezieht. Transformationen die in einem gewissen Sinne „lokal“ sind, er-
scheinen wünschenswert. Bevor wir die Wavelettransformation einführen, präsentieren
wir eine andere alternative Art, „lokalisierte“ Frequenzinformationen zu erhalten: die
gefensterte Fouriertransformation.
u
(
ξ
)
4.4.1 Die gefensterte Fouriertransformation
Eine naheliegende Idee zur Lokalisierung der Fouriertransformation ist folgende Modi-
fikation. Wir benutzen eine sogenannte
Fensterfunktion g
:
R
d
→
C
welche nichts weiter
ist als eine Funktion, die „um den Ursprung herum lokalisiert ist“, d.h. eine Funktion
welche für große
0, folgende in
L
2
R
d
|
|
σ >
(
)
x
kleine Werte annimmt. Beispiele sind, für
normierte Funktionen:
exp
.
2
−
|
)=
Γ
(
1
+
d
/2
)
1
x
|
(
χ
B
σ
(0)
(
)
(
)=
g
x
x
,
oder
g
x
d
d
/2
d
/2
2
σ
σ
π
(
2
πσ
)
Wir lokalisieren die zu analysierende Funktion
u
um einen Punkt
t
, indem wir
u
mit
g
(
·−
t
)
multiplizieren. Anschließend berechnen wir die Fouriertransformation des Pro-
duktes:
Definition 4.54
Es seien
u
,
g
L
2
R
d
∈
(
)
. Die
gefensterte Fouriertransformation
von
u
zur
Fensterfunktion g
ist
1
e
−
i
x·ξ
d
x
.
(
G
g
u
)(
ξ
)=
(
)
(
−
)
,
t
R
d
u
x
g
x
t
d
/2
(
2
π
)
und ei-
nem
Ortsparameter t
ab. Es gibt zahlreiche andere Möglichkeiten, die gefensterte Fou-
riertransformation darzustellen, zum Beispiel:
Die gefensterte Fouriertransformation hängt von einem
Frequenzparameter
ξ
(
G
g
)
(
ξ
)=
F
(
)(
ξ
)
u
,
t
uT
t
g
−
1
=
(
u
,
M
T
t
g
)
2
ξ
−
(
π
)
d
/2
2
1
=
d
/2
(
M
u
∗
D
−
id
g
)(
t
)
.
−ξ
(
2
π
)
Die erste Alternative erklärt noch einmal den Namen „gefensterte“ Fouriertransforma-
tion: Es wird die Funktion
u
durch Multiplikation mit dem verschobenen Fenster
g
loka-
lisiert und dann Fourier-transformiert. Man beachte, dass die gefensterte Fouriertrans-
formation eine Funktion von 2
d
Variablen ist:
g
u
:
R
2
d
G
→
C
. Ist die Fensterfunktion
g
πσ
)
−
d
/2
exp
2
/
eine Gauß-Funktion, d.h.
g
(
x
)=(
2
(
−|
x
|
(
2
σ
))
für ein
σ
>
0 so spricht
man auch von der Gabor-Transformation.
